《直线和圆的方程》专题讲座一、 求最值问题若a i ＞0（i=1，2，…，n ），则有na a a n +++...21≥nn a a a ⋯⋯⋅21（1）当a 1+a 2+…+a n =s （常数）时，积a 1·a 2……a n 有最大值为(ns )n，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.（2）当a 1·a 2……a n =p （常数）时，和a 1+a 2+…+a n 有最小值有n n p ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.利用此公式求最值，按大纲要求只需掌握n=2时的情形.同时在应用时需注意以下三点：（1）作和或作积的数必须都为正；（2）若求和的最小值，则它们的积必须是一个常数，而若求积的最大值，则它们的和必须是一个常数；（3）在允许范围内这几个数能达到相等。
【例1】求下列函数的最值. （1）y=432+x x； （2）y=434322+++-x x x x .分析 此类题一般用判别式求最值，其实，应用二元均值不等式也能予以解答。
解（1）当x=0时，y=0 ， 当x ≠0时，y =xx 43+=xx 43+≤43 ∴－43≤y ≤43 当且仅当x =x4( )，即x=±2时，等号成立. ∴y min =－43，y min =43 （2）易知函数的定义域是R.y=434322+++-x x x x =1－4362++x x .①当x ＞0时，1＞y=1－346++xx ≥1－3426+=71 即当x=2时，y=71； ②当x=0时，y=1； ③当x ＜0时，1＜y=1+3)(4)(6--+-x x≤3426+即当x=－2时，y=7. 综合以上知，y min =7，y min =71 说明 将函数解析式变形以出现“x+xa”是活用平均值不等式求最值的前提. 事实上，对于（2），若令x=2tan θ ，则有y=43143122+++-x x x x=θθ2sin 342sin 34+-. 由此确定这个三角函数的最值也很容易. 【例2】已知x ，y ∈R +，且2x+y=1，求证：x 1+y1的最小值为3+22. 分析 注意到条件中给出1+2x+y ，而所要求证的不等式左边x 1+y1中的也含有1，故可将已知条件作逆向代换，即把1换成2x+y ，可使问题得到巧妙的解决. 解∴x 1+y 1=x y x +2+ yy x +2 =2+x y +y x2+1 =2+x y +yx 2∵y ∈R + ∴x y +y x 2≥2yx x y 2⋅=22 ∴x 1+y 1≥3+22当且仅当x y =y x 2，即x=222-，y=2－1时取“=”.二、 判别式法的应用【例1】已知a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于23. 证明：∵abc=1＞0∴a ，b ，c 要么同正，要么有两个数为负，另一个数为正。
∵a+b+c=0， ∴a ，b ，c 不能同正.可设a ＞0，b ＜0，c ＜0，只需证明a ＞23即可. ∵b+c=－a ，bc=a1， ∴b ，c 是一元二次方程x 2+ax+a1=0的两个负实根. ∴△=a 2－a4≥0，即a 3≥4. ∴a ＞34＞3827=23 ∴a ，b ，c 中至少有一个大于23. 说明 作此题前要将条件分析好，即由a+b+c=0知a ，b ，c 不能都大于零，只能其中有两个数为负，一个数为正，这样，只需证明为正的那个数大于23即可。
【例2】已知x+y+z=5, x 2+y 2+z 2=9中，得 x 2+(y －5)x+y 2－5y+8=0， ∵x ∈R, ∴△≥0，即(y －5)2－4(y 2－5y+8) ≥0，解得1≤y ≤37 即y ∈[1，37] 同理可证x ∈[1，37 ] z ∈[1，37]说明 在用判别式法证不等式时，要注意“主元”的取值范围.三、 直线系直线系指的是具有某种共同性质的直线的集合。
利用直线系理论来解决有关问题时，常常显得简捷明快，所以灵活运用直线系知识是重要的解题方法和技巧之一。
（一）平行直线系Ax+By+λ=0是平行于直线Ax+By+C=0的平行直线系（其中λ为常数，当λ=C 时，两直线重合）.Bx －Ay+λ=0是垂直于直线Ax+By+C=0的平行直线系.【例1】求过点P （1，1）且分别与直线3x －5y+4=0平行或垂直的直线方程。
解 将点P 的坐标（1，1）分别代入 3x －5y+λ=0及5x+3y+u=0， 得λ=2，u=－8 。
故与已知直线平行的直线为3x －5y+2=0，与已知直线垂直的直线为 5x+3y －8=0.（二） 过两直线交点的直线系【例2】过直线：2x+y+8=0和x+y+3=0的交点作一直线，使它夹在两直线x －y －5=0和x －y －2=0之间的线段长等于3，求此直线方程.解 如图7—33，两平行线x －y －5=0与x －y －2=0间的距离u=23∵所求直线被这两行线截下的线段为3=2d ∴所求直线与这两平行线夹角为450又x －y －5=0的倾角为450，∴所求直线倾角为00与900 ∵过2x+y+8=0和x+y+3=0的交点，求所求直线方程为： 2x+y+8+λ(x+y+3)=0，即：(2+λ)x+(1+λ)y+(8+3λ)=0，① 令2+λ=0得λ=－2，令1+λ=0得λ=－1代入①式得所求直线方程为y=2或x=－5. 图7—33四、 对称问题对称分为点对称（中心对称）和轴对称两种，这是中点坐标公式和直线与直线垂直的应用。
【例1】求①点P （x ，y ）②直线l ：2x －y+3=0 ③圆x 2+y 2=1分别关于点A （1，2）对称的点，直线和圆的方程.解 ①点P 关于点A 的对称点P /（x /，y /） 则A 是PP /的中点，由中点坐标公式x-y-2=033x-y-5=0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-2221//yy x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-∆=--=y y x x //2∴P /(―2―x ， 4―y) ②设l 关于点A 对称的直线l /上任一点M （x ，y ）则M （x ，y ）关于点A （－1，2）的对称点M /(－2－x ，4－y)在直线l 上，∴2（－2－x ）－（4－y ）+3=0 即2x －4y+5=0③在圆x 2+y 2=1关于点A （－1，2）对称的圆上任取一点M （x ，y ），则M 关于点A 的对称点M /（－2－x ）2+(4－y)2=1 即：(x+2)2+(y －4)2=1 说明 通过本题得出结论：①点P （x ，y ）关于点A （x 0，y 0）的对称点是P /（2x 0－x ，2y 0－y ） ②曲线F （x ，y ）=0关于点A 的对称曲线的方程是F(2x 0－x ，2y 0－y)=0.【例2】求①点P(x 0，y 0) ②圆C ：x 2+y 2=1分别关于直线x －y+1=0对称的点和圆的方程. 解 ①设点P 关于直线x －y+1=0对称的点P /（x 1，y 1）则线段PP /的中点在对称轴上，且PP /⊥对称轴. ∴210x x +－210y y ++1=0解得：⎩⎨⎧+=-=110101x y y x1010x x y y --―1=―1即P /（y 0－1，x 0+1）②在所求的对称圆上任取一点M （x ，y ），则点M 关于x －y+1=0对称的点M /（y －1，x+1）在已知圆C 上，∴(y －1)2+(x+1)2=1.就是所求的对称的圆.说明 点（x 0，y 0）关于直线x －y+1=0对称的点（y 0－1，x 0+1）可以直线代换而得，不必列方程组求解.其代换法则是这样的：对称点的横坐标是把原来点的纵坐标y 0代入对称轴方程的y 而得x －y 0+1=0，从而x=y 0－1；所求对称点的纵坐标，是把原来点的横坐标x 0代入对称轴方程的x 而得x 0－y+1=0从而y=x 0+1.斜率为±1的直线索对称轴时，都可用此代换法是，再如点P （x 0，y 0）关于直线x+y+b=00对称的点P /的坐标是（－y －b ）2+(x －b)2=1即(x+b)2+(y+b)2=1.一般地，曲线F （x ，y ）=0关于直线x －y+b=0对称的曲线是F （y －b ，x+b ）=0；曲线F(x ，y)=0关于直线x+y+b=0对称的曲线是F(－y －b ，－x －b)=0.当对称轴为y=±x 时，即是上述x ±y+b=0中，b=0的特殊情形.上述代换法则仍然成立，当对称轴垂直于坐标轴时，可给合图形直接求出对称点的坐标；当对称轴不是上述几种特殊情形时，没有简单的方法，只有【例2】的①那样列方程组求解.点P （x 0，y 0）关于某对称轴对称的点的坐标（特殊对称轴）如表7—5： 表7—5对称轴方程 x=x 1 y=y 1 y=x y=－x x+y+b=0x －y+b=0 对称点P / 的坐标(2x 1－x 0，y 0) (x 0,2y 1－x 0) (y 0,x 0)(－y 0, －x 0)(－y 0－b, －x 0－b)(y 0－b,x 0+b)五、 圆系（一）同心圆系设圆C 的一般式方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则与圆C 同心的同心的圆系方程为x 2+y 2+Dx+Ey+λ=0.若圆C 的标准方程为(x －a)2+(y －b)2=r 2，则与圆C 同心的圆系方程为线长等于的圆的方程.解 设所求同心的方程为x 2+y 2－2x+4y+λ=0， 由于从点A （4，3）向此圆所引的切线长为5，所以 42+32－2×4+4×3+λ=52 得λ=－4.故所求圆的方程为x 2+y 2－2x+4y －4=0. （二）共轴圆系 设两个同心的圆的方程为 C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 C 2：x 2+y 2+D 2x+E 2Y+F 2=0 记方程C ：C 1+λC 2=0.当λ=－1时，C 为一直线方程，这条直线叫做两圆的根轴，它是从两圆外向两圆引切线使切线长相等的点的轨迹.（当两圆相离或内含或相切的轨迹为一直线，当两圆相交时轨迹为公共弦所在直线去掉公共弦所剩余的两部分.）当λ≠－1时，C 表示过C 1，C 2两圆交点的圆系（但不包括C 2），即它们都有相同的根轴l ：C 1－C 2=0，故称共轴圆系.【例2】求经过两圆x 2+y 2+3x －y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0的交点及点P （1，1）的圆的方程.解 设所求圆的方程为3x 2+3y 2+2x+y+λ(x 2+y 2+3x －y)=0 将点P （1，1）的坐标代入上式，得λ=－49. 故所求圆的方程为3x 2+3y 2－19x+13y=0.【例3】求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x －4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.（1）过原点； （2）有最小面积. 解 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x －4y+1+λ(2x+y+4)=0， 即x 2+y 2+2(1+λ)x+(λ－4)+(1+4λ)=0. （1）∵此圆过原点，∴1+4λ=0. 由此得λ=－41 故所求圆的方程为x 2+y 2+23x －417y=0 （2）将圆系方程化为标准式，有 (x+1+λ)2+(y －24-λ)2=45(λ－58)2+54 当其半径最小时，圆的面积最小，此时λ=58为所求. 故满足条件的圆的方程为 (x+513) 2+(y －56)2=54.。