9 15e 3

3
p9
该结果说明在9千元价格水平上， 价格若增加1%，
该商品的需求量将下降3%.
2. 供给价格弹性
对供给价格函数 Qs g( p) 的弹性分析，与需求价格弹性
的分析一样，可推出商品在 p0 处的供给价格弹性为
g
(
p0
)

g
p0 ( p0
)
记为
gE ( p) PE
，在经济学中常记为 Es
第六节 经济活动中的边际分析 与弹性分析
由导数概念可知，函数在某一点处的导数就是 函数在该点的变化率.它描述了函数在某点的变化 情况.在经济学中,经常需要研究经济函数的绝对变 化率与相对变化率问题.这类问题如何求解？
一、边际分析
二、弹性分析
一、边际分析 供给函数、需求函数、成本函数、利润函数等这 些经济问题讨论中所涉及的函数, 称为经济函数. 在经济数学中, 把导函数 f (x)称为边际函数. 常用的边际函数有三个，即边际成本函数、边际 收益函数、边际利润函数。
TC (100 ) 2000 45 100 0.02 100 2 6700
（2）当产量为100吨时的平均成本
AC(100) 6700 67 100
（3）当产量从100吨增加到200吨时，总成本的平均变化率
Q 200 100 100
，
TC TC(200) TC(100) 2000 45 200 0.02 2002 6700 5100
lim ( Qd p0 p

p0 ) f ( p0 )
f ( p0 )
p0 f ( p0 )
p0
称为该商品在 p0 处的需求价格弹性，记为
fE ( p) pE p p0
在经济学中常记为 Ed p p0即Biblioteka Edp p0
fE ( p) pE
p p0

f ( p0 )
1. 需求价格弹性
需求价格函数 Qd f ( p) 反映了某种商品需求量 Qd
与价格 p 的依赖关系.
当价格在 p0 处有改变量 p 时，需求量相应
也有改变量
Qd f ( p0 p) f ( p0 )
当价格改变量 p 0 时，极限
Qd
lim
p0
f ( p0 ) p
2、边际收益 生产者出售一定量产品所得到的全部收入称为总收益, 单位产品的售价称为平均收益. 总收益对销售量的导数称 为边际收益. 一般用Q表示商品量, P为商品价格, TR表示总收益. 于是, 总收益函数为TR =TR(Q),
边际收益为 MR TR(Q)
例2 设某产品的价格与销售量的关系为 P 10 Q , 求销售量为30时的总收益、平均收益与边际收益. 5
TC (Q) 2000 45Q 0.02Q2
Q [0,1000]
求：（1）当产量为100吨时的总成本； （2）当产量为100吨时的平均成本； （3）当产量从100吨增加到200吨时，总成本的平
均变化率；
（4）分别求当产量为100吨和200吨时的边际成本.
解（1）当产量为100吨时，总成本
1、边际成本
生产一定数量的产品所需要的全部经济资源投入的费 用总额称为总成本, 设 TC(Q)为总成本,此处Q为产量.
边际成本为总成本函数关于产量Q的导数，记作MC，
即
MC TC(Q)
它的经济含义是：当产量Q为时，再生产一个单位 产品所增加的成本，即边际成本是第Q+1个产品的成本。
例1 已知某商品的总成本函数为
p0 f ( p0 )
例3 某种商品的需求 量
Q (单位：百件)与价格 p
（单位：千元）的关系为
p
Qd f ( p) 15e 3
试求在 p 9 千元水平上的需求价格弹性.
解 因为
p
Qd f ( p) 5e 3
所以
Ed
p10

f ( p)
p f ( p)

5e 3
5
2
2 0.85
该结果说明当价格在 p 5 元水平时，若提价1%，
供给量将增加2%.
所以总成本的平均变化率为
TC 5100 51 Q 100
（4）边际成本函数
MC TC(Q) 45 0.04Q
所以 MC(100) 45 0.04 100 49
MC(200) 45 0.04 200 53
这说明当产量为100时，再增加一个单位产品的 生产，总成本将增加49；当产量为200时，再增加一 个单位产品，总成本将增加53.
解 由 TR Q P(Q) 10Q Q 2
5
得总收益为 TR(30) 120
由
AR

P(Q)
10
Q 5
得平均收益为 AR(30) 4
由 MR TR(Q) 10 2Q 得边际收益为 MR(30) 2
5
3. 边际利润
总利润函数 L(Q) TR(Q) TC(Q) 对销售量 Q 的导数，
p p0
p p0
即
Es

p p0
gE ( p) PE
p p0

g (
p0
)

p0 g( p0
)
例4 已知某种商品的供给价格函数为 Qs 2 0.8 p
试求 p 5 元时的供给价格弹性.
解 因为 Qs 0.8
所以
Es
p5

g (
p0
)

p0 g( p0
)
0.8
称为边际利润，记为 ML.
即边际利润函数为 ML(Q) TR(Q) TC(Q) MR MC
它的经济含义是：当产销量达到 Q 时，再增加一个
单位产品的产销所增加的利润.
二、弹性分析 弹性作为一个数学概念是指相对变化率, 即相互依 存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。用比例 来说, 是自变量变化 1% 所引起因变量变化的百分数。 弹性是一种不依赖于任何单位的计量法, 即是无量纲 的。弹性分析是经济数量分析的重要组成部分之一.