⎪ ⎪
∂u
⎪⎩ ∂t
t=0
= ϕ1(x, y, z)
在球坐标变换
⎧x = r sinθ cosϕ
⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin
ϕ
⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π )
∫∫ ∫∫ u(M ,t) = 1
∂
⎡ ⎢
ϕ
(M
′)
dS
⎤ ⎥
+
1
ψ (M ′) dS
>
0)
⎪⎪⎩u t=0 = ϕ(x, y)
∂u ∂t
t=0
=ψ (x, y)
∫ ∫ ∫ ∫ u(
x,
y,t)
=
1 2π a
⎡ ⎢ ⎣
∂ ∂t
at 0
2π 0
ϕ
(
x
+
r
cosθ , y a2t2 −
+ r2
r
sin
θ
)
rdrdθ
⎤ ⎥ ⎦
+
1 2π a
⎡ ⎢ ⎣
at 0
2π 0
ψ
(
x
+
r
cosθ a2t 2
=
L[ eax
− e−ax 2
]
=
s2
a −
a2
Re s > Re a
L [ chax ]
=
L[ eax
+ e−ax 2
]
=
s2
s +
a2
Re s > Re a
基本性质
L[α f1 + β f2 ] = α L[ f1] + β L[ f2 ]
L[ f (x −τ )] = e−sτ L[ f (x)],τ ≥ 0 L[eax f (x)] = f (s − a), Re(s − a) > σ0
F[ f1 ∗ f2 ] = F[ f1]F[ f2 ]
F[
f1 f2 ] =
1 2π
F[
f1]∗ F[
f2]
F[ f ′] = iλ F[ f ] F[ f (k) ] = (iλ)k F[ f ]
d F[ f ] = F[−ixf ] dλ
−ixf = F −1[ d f (λ)] dλ
F[ f (x − x0 )] = e−iλx0 F[ f (x)]
,y+ − r2
r
sin
θ
)
rdrdθ
⎤ ⎥ ⎦
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
傅立叶变换
∫ f (λ) = +∞ f (x)e−iλxdx −∞
基本性质
∫ f (x) = 1 +∞ f (λ)eiλxdλ
2π −∞
F [α f1 + β f2 ] = α F[ f1] + β F[ f2 ]
设空间区域 V 是由分片光滑的闭曲面 S 所围成，函数 P,Q,R 在 V 上具有一阶连续偏导数，则：
∫∫∫
⎛ ⎜
V⎝
∂P ∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
⎞ ⎟ dV ⎠
=
∫∫
S
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
或Байду номын сангаас
∫∫∫
⎛ ⎜
V⎝
∂P ∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
⎞ ⎟ dV ⎠
=
∫∫
S
⎡⎣P cos (n,
若 F[ f (x)] = g(λ) 则 F[g(x)] = 2π f (−λ)
F [1] = 2πδ (λ)
F
⎡ ⎣
e
−
ax
2
⎤ ⎦
=
⎛ ⎜⎝
π 2
⎞2 ⎟⎠
−λ2
e 4a
cos a = eia + e−ia 2
sin a = eia − e−ia 2i
∫ +∞ e−x2 dx = π −∞
eia = cos a + i sin a e−ia = cos a − i sin a
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
无限长弦的一般强迫振动定解问题
⎧⎪utt = a2uxx + f (x, t)(x ∈ R, t > 0) ⎨u t=0 = ϕ(x) ⎪⎩ut t=0 =ψ (x)
∫ ∫ ∫ 解
u ( x,
t)
=
1 2
⎡⎣ϕ
(
x
+
at
)
+
ϕ
(
x
−
at
)⎤⎦
+
1 2a
ψ .x+at (ξ ) dξ + 1
⎪ ⎨
y′
=
y
+
(at)
sin
θ
sin
ϕ
，(0
≤
ϕ
≤
2π
,
0
≤
θ
≤
π
)
⎪⎩z′ = z + (at) cosθ
dS = (at)2 sinθ dθ dϕ
二维空间的自由振动的波动方程定解问题
⎧ ∂ 2u ⎪⎪ ∂t2 ⎨
=
a2
⎛ ⎜ ⎝
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y 2
⎞ ⎟
,
( −∞
⎠
<
x,
y
<
+∞, t
4π a ∂t ⎢⎣ SaMt r
⎥⎦ 4π a2 SrM r
(r=at)
∫∫ ∫∫ u(M ,t) =
1 4π a2
∂ ∂t
⎡ ⎢ ⎢⎣ SaMt
ϕ
(M
′)
dS
⎤ ⎥
+
t
⎥⎦
1 4π a2
SaMt
ψ (M ′) dS 无界三维空间自由振动的泊松公式 t
⎧x′ = x + (at) sinθ cosϕ
L−1 ⎡⎣α f1 + β f2 ⎤⎦ = α L−1[ f1] + β L−1[ f2 ]
L[ f (cx)] = 1 f ( s ), (c > 0) cc
L[ f (n) ] = sn L[ f ] − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) −
− f (n−1) (0)
∫L[ .x f (τ )dτ ] = 1 L[ f (x)]
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
拉普拉斯变换
∫ f (s) = +∞ f (x)e−sxdx 0
L[ceax ] = c p−a
Re p > Re a
L[x] = 1 s2
L[e−β x
⋅
x]
=
(s
1 +β
)2
L [sin
kt ]
=
s2
k +
k2
L[cos kt]
=
s2
s +
k2
L [ shax ]
.x−at
2a
t⎡ 0 ⎢⎣
x+a(t −τ ) x−a(t −τ )
f
(α,τ )dα ⎤⎥⎦dτ
三维空间的自由振动的波动方程定解问题
⎧ ∂ 2u
⎪ ⎪
∂t
2
=
a2
⎛ ⎜ ⎝
∂2u ∂x2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
⎞ ⎟
,
(
−∞
⎠
<
x,
y,
z
<
+∞, t
>
0)
⎪⎨u t=0 = ϕ0 (x, y, z)
.0
s
d n L[ f ] = L[(−x)n f ] dsn
∫.∞ （f s）ds = L[ f (x)]
.p
x
L[ f1 ∗ f2 ] = L[ f1]F[ f2 ]
∫ L[δ (x)] = +∞δ (x)e−sxdx = 1 0
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
三个格林公式
高斯公式：
x)
+ Q cos (n,
y)
+
R cos (n,
F[eiλ0x f (x)] = f (λ − λ0 )
∫F[ .x f (ξ )dξ ] = 1 F[ f (x)]
.−∞
iλ
∫ F[δ（x)] =
.∞ δ（x）e−iλxdx = e−iλx
.−∞
x=0 = 1
F[ f (ax)] = 1 f (λ ) aa
∫ F[δ ( x − ξ )] = ( ) .∞ δ x − ξ e−iλxdx = e−iλξ .−∞