第一章 解三角形1、正弦定理：在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有:2sin sin sin a b cR C===A B . 2、正弦定理的变形公式:①2sin a R =A ,2sin b R =B ，2sin c R C =;②sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B . 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。

２、已知两角和一边,求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

(一解、两解、无解三中情况）如：在三角形AB Ｃ中,已知a 、ｂ、A(A 为锐角）求Ｂ。

具体的做法是:数形结合思想 画出图：法一：把ａ扰着Ｃ点旋转，看所得轨迹以AD当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则Ｂ有两个解。

法二:是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a ＜bsinA ，则Ｂ无解当bs ｉｎＡ<ａ≤b,则Ｂ有两解 当a=bsi ｎＡ或a>b 时，B 有一解注:当A 为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A , 2222cos b a c ac =+-B ,2222cos c a b ab C =+-.5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。

2、已知三边求角）6、如何判断三角形的形状:设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <; ③若222a b c +<,则90C >. 7、正余弦定理的综合应用: 如图所示:隔河看两目标A 、B,C 、D 两点，并测得∠ACB=7５O, ∠BCD=45O， ∠AD Ｃ＝３0O,∠ADB=45O (Ａ、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标Ａ、B附：三角形的五个“心”; 重心：三角形三条中线交点.外心:三角形三边垂直平分线相交于一点． 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.练习题一、选择题1、在△ＡBC 中，a ＝１0，Ｂ=6０°,Ｃ＝45°,则c 等于 (ﻩＢ ）A.310+ﻩB.()1310-ﻩC.13+ﻩﻩD.3102、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为A.５２ﻩＢ.ﻩC ．16ﻩﻩﻩD.4３、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ）A 090 B 060 Ｃ 0120 D 0150４ 、在△A ＢC 中，根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 （ Ｄ ）A.b = 10，A = ４5°,Ｂ = 70° B ．a = ６０,c ＝ 48，B = 1０0° C.ａ ＝ 7，b = ５,Ａ = ８0° D ．a ＝ 14，b = １６，A = 4５° 5、已知△ABC 中，a ∶ｂ∶c ＝1∶3∶2，则Ａ∶B ∶C 等于（ A ) A.１∶2∶３ﻩﻩﻩﻩ ﻩＢ.2∶３∶１C. 1：3:2ﻩﻩD.3:１:26、若△ABC 的周长等于20,面积是310,A ＝60°,则B Ｃ边的长是( C ) Ａ. 5ﻩﻩ B ．6 ﻩﻩC ．7 ﻩ Ｄ.8 二、填空题（每题５分，共２5分）7、在ABC ∆中,已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =＿_______＿_＿8、在△AB Ｃ中,A ＝60°, b =1, 面积为3，则sin sin sin a b cA B C ++++=９、在△A ＢC 中,已知A Ｂ=4,AC=７,BC 边的中线27=AD ，那么BC= 10、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72c =,且60C ︒=,又ABC △的面，则a b +=___＿____________ 三.解答题（2小题,共4０分）１3、在∆ＡBC 中，sin()1C A -=, s ｉｎB=13.（I)求sinA 的值； （II ）设∆A ＢC 的面积.知识点巩固练习(一)一、选择题１．在△A ＢC 中,若030,6,90===B a C ,则b c -等于( ） A.1 B.1- C ．32 D ．32-２．若A 为△A ＢC 的内角，则下列函数中一定取正值的是( ) Ａ.A sin B ．A cos C.A tan Ｄ．Atan 13．在△A ＢC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( ）A.直角三角形 B ．锐角三角形 Ｃ.钝角三角形 D ．等腰三角形４．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为( )A.2 B.23C.3 D ．32 5.在△ABC 中，若B a b sin 2=,则A 等于（ ）A.06030或 B.06045或 C.060120或 D.015030或６．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ） A.090 B ．0120 Ｃ．0135 Ｄ．0150 二、填空题1.在Rt △ABC 中,090C =，则B A sin sin 的最大值是_____＿_________。

2．在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,222_________。

3.在△ＡBC 中,若====a C B b 则,135,30,20_________。

4．在△ＡＢC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =＿____＿_______。

三、解答题1． 在△AB Ｃ中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△A ＢＣ的形状是什么?2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中,求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

知识点巩固练习(二）一、选择题１．在△ＡBC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于( )A.1:2:3B.3:2:1C.2 D ．2 2.在△ABC 中,若角B 为钝角,则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 Ｂ.小于零 C ．等于零 Ｄ．不能确定 3．在△ＡBC 中,若B A 2=,则a 等于( ）Ａ.A b sin 2 Ｂ．A b cos 2 Ｃ.B b sin 2 D ．B b cos 24.在△ＡB Ｃ中,若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ＡBC 的形状是（ ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 Ｃ.不能确定 D ．等腰三角形 5．在△A ＢC 中,若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A.090 B.060 C.0135 D.0150 6.在△A ＢC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ) A ．51-B.61-C.71-D.81- 二、填空题1.若在△ABC 中,060,1,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_＿＿＿___。

2.若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan ___＿_1（填>或<)。

３．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_＿_____＿_。

4.在△ABC 中,若,12,10,9===c b a 则△A ＢC 的形状是＿__＿_____。

5．在△ＡＢC 中,若=+===A c b a 则,226,2,3____＿__＿_。

三、解答题1． 在△AB Ｃ中，0120,,ABCA c b a S =>==，求c b ,。

2． 在锐角△ABC 中,求证：1tan tan tan >⋅⋅C B A 。

3． 在△ABC 中,求证：2cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++。

4． 在△A ＢC 中，若0120=+B A ,则求证:1=+++ca b c b a 。

5． 在△ABC 中,若223cos cos 222C A b a c +=,则求证：2a c b +=知识点巩固练习（三)一、选择题１.A 为△AB Ｃ的内角,则A A cos sin +的取值范围是( ）Ａ．)2,2( Ｂ．)2,2(- C ．]2,1(- D ．]2,2[-2.在△ABC 中,若,900=C 则三边的比cba +等于（ ) A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C.2sin 2B A + D.2sin 2BA -3.在△ABC 中,若8,3,7===c b a ,则其面积等于( ) Ａ.12 Ｂ.221C ．28 D.36 ４.在△ABC 中,090C ∠=,00450<<A ,则下列各式中正确的是( )A ．sin cos A A > Ｂ．sin cosB A > C.sin cos A B > D ．sin cos B B >５.在△A ＢC 中,若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=( ) A.090 Ｂ.060 C ．0120 D ．0150６．在△A ＢC 中，若22tan tan ba B A =,则△ＡB Ｃ的形状是( ） A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 Ｃ．不能确定 D ．等腰三角形二、填空题１．在△ABC 中,若,sin sin B A >则A 一定大于B ,对吗?填＿_____＿__（对或错) ２．在△A ＢＣ中，若,1cos cos cos 222=++C B A 则△A ＢC 的形状是_＿__＿_＿＿____＿_。