第三章 建模技术
3.1 基本概念 3.2 线框建模 3.3 表面建模 3.4 实体建模 3.5 特征建模 3.6 行为特征建模简介
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3.1 基本概念
建模技术是CAD/CAM系统中的核心。
建模技术是定义产品在计算机内部表示的数字模型、数 字信息以及图形信息的工具；研究产品数据模型在计算机内 部的建立方法、过程、数据结构和算法。
V2、V3、V4 构成的均匀三次B样条曲线段。
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2、参数化曲面 （1）双三次Bézier曲面
用两个参数u、v描述 的向量函数可表达一个空间曲 面。
双三次Bézier曲面用 空 间 4×4 个 控 制 点 形 成 控 制 多 面体来控制曲面形状。
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双三次Bézier 曲面数学表达式
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T
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（2） B样条曲面
与Bézier曲面一样，可以把一族B样条曲线上 相同的某一参数位置的点取出，构成另一条B样条 曲线的顶点。当曲线族上的点变化时，即构成一条 运动曲线，该运动曲线扫描而成的曲面，即为B样 条曲面。
B样条曲面在实际应用中最重要的性质是曲 面片间的连接方便性，且拼接后有非常光滑的效果。 均匀3×3次B样条曲面片之间的自然连接可以达到 二阶平滑效果。
3）会对物体形状的判断产生多义性，难以准确确 定实体的真实形状。
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线框建模的二义性
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思考:该模型可以几种表示？
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3.3 表面建模
一、基本原理
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表面
二、表面描述方法的种类
平面
直纹面
回转面
柱状面
Bezier曲面
B样条曲面
孔斯（Coons）曲面
圆角面
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等距面
三、自由曲面的建模方法
建模方法：几何建模、特征建模、行为特征建模
CAD/CAM建模的基本要求： 1）应具备信息描述的完整性 2）应贯穿整个生命周期 3）应为企业信息集成创造条件
3.2 线框建模 ——利用顶点和边棱线建模
一、二维线框建模原理
数据结构为表结构。 计算机内部存贮的是物体的顶点及棱线信息，将实体的 几何信息和拓扑信息层次清楚地记录在顶点表及棱线表中。
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双三次B样条曲面的数学表示
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-1
1 3 3 1
3
6
0
0
T
3 3 3 0
1
0
0
0
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双三次B样条曲面的控制多面体
精品课面积计算、曲面求交、 数控刀具轨迹生成等。
所能描述的零件范围广，特别是像汽车车身、飞机 机翼等难于用简单的数字模型表达的物体。
另外，表面建模可为CAD/CAM中的其它场合提供数据， 如有限元分析中的网格的划分。
局限性：它所描述的仅是实体的外表面，并没切开物 体而展示其内部结构，因而无法表示零件的立体属性，会 给物体的质量特性分析带来问题。
边式 精品课件
边式系统：只描述轮廓边，没有定义面。
因而不能自动填充剖面线，拷贝和图形变 面式系统：将封闭轮廓边包围的范围定义为平面。
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一、二维线框建模原理（面式）
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二维线框建模特点：
绘图简单、方便、快速； 仅局限于计算机辅助绘图或对回转体零件进行数
控编程； 各个视图相互独立，而不能自动修改已变参数。
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均匀三次B样条曲线的表达式
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-
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三次B样条曲线的几何性质
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V1 P（0）
V0
V2 P（1）
V3
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三次B样条曲线的几何性质
P（0）
P（1）
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P（0）
P＇(0)
P（1） P＇(1)
由于三次参数样条曲线的多项式次数低，易 于计算，二次可导，工程上足够光滑，因此也获得 广泛应用。
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二、三维线框建模
可利用三维线框模型经投影变换成平面视图
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线框建模的特点
1）所需信息最少，数据运算简单，存贮空间小，对 硬件的要求不高，易掌握，处理时间短。但对于曲面体， 表示不准确。
2）只有边的几何信息和拓扑信息，而没有面的信 息或面信息不完整。无法进行消隐、干涉检查、物性计 算。
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1 3 3 1
3
6
3
0
3 3 0 0
1
0
0
0
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P0
P'(t)312tt2 14t3t2 2t3t2 t2 P1 P2 P3 精品课件
对其参数方程求二阶导数，得
P''(t) 6[1t
23t
13t
P0 t]P1
P2 P3
曲线连接
1
长度相等
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（2）B样条曲线
1、参数化曲线
自由曲线的生成过程： a）给出或记录一系列离散点的空间坐标； b）将上述离散点分段拟合； c）拟合时使各段衔接处过渡光滑： 一阶导u数为值独立相变等量（，一u=阶0~1光滑）； 二阶导数值相等（二阶光滑）
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（1）三次Bézier曲线
三 次 Bézier 曲 线 二 阶 连 续 , 工 程 上 常 采 用 分 段 三 次 Bézier曲线。 ➢ 三次Bézier曲线的参数方程 ➢ 三次Bézier曲线的构造方法 ➢ 三次Bézier曲线的几何特性 ➢ 分段三次Bézier曲线的连接
样条曲线：早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条 （即样条）用压铁固定在样点上，其他地方让木条自由弯曲，沿 样条画下的曲线，称Spline。
三次样条曲线: 如果样条曲线在样点上具有二阶平滑性， （二阶导数连续），且可由一个三次多项式表示。
B样条曲线也是使用特征多边形、逼近的方法。 它比Bézier曲线更逼近特征多边形。
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通常n次Bézier曲线由（n+1）个顶点来定义，并 由参数式来表示：
n
P(t) Bi,n(t)•Pi
i0
且 Bi,n(t)i!(nn !i)!ti(1t)ni
参变量t∈[0,1]; (i=0,1,…n)
式中：Pi为多边形顶点的位置矢量；
Bi,n(t)为古典伯恩斯坦基函数,也称权函数;
规定0°和0!均为1
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练习
已知特征多边形四个顶点位置V0（1，2）、 V1 （1.5，3） 、V2 （3，3.5） 、V3 （5，
12）.5根）据三次Bézier曲线的几何性质绘出一段Bézier
曲线，要写明作图依据并保留作图痕迹。 2）根据三次B样条曲线的性质绘出一段B样条曲线，
要写明作图依据并保留作图痕迹。 3）如果增加一顶点V4（5.5，0.5），试绘出由V1、