函数常考题型及方法题型一：函数求值问题★（1）分段函数求值→“分段归类”例1．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =( )A.4B.14C.-4 D-14例2．若2tan ,0(2)log (),0x x f x x x ≥⎧+=⎨−<⎩，则(2)(2)4f f π+⋅−=（ ）A ．1−B ．1C ．2D ．2−例3．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=⎩⎨⎧>−−−≤−0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （2017）的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2★（2）已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转化”例4．已知函数()f x 是(,)−∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=）且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），(2008)(2009)f f −+的值为（ ）A ．2−B ．1−C ．1D ．2例5．已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（ ）（A ）124 （B ）112（C ）18 （D ）38 例6．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则(1)f −=（ ）（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3★（3）抽象函数求值问题→“反复赋值法”例7．已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（ ）A. 0B.21 C. 1 D. 25例8．若函数()f x 满足：()114f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++−∈则()2010f =_____________.题型二：函数定义域与解析式例1．函数y =的定义域为（ ）A ．(4,1)−−B ．(4,1)−C ．(1,1)−D ．(1,1]− 例2．函数y =的定义域为（ ）A.(34,1) B(34,∞)C （1，+∞）D. (34,1)∪（1，+∞） 例3．函数2()f x =的定义域为 ．例4．求满足下列条件的()f x 的解析式： （1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +−−=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．例5.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =−−+−，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）（A ）21y x =− （B ）y x = （C ）32y x =− （D ）23y x =−+题型四：函数值域与最值关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，常用的方法有：1.利用基本函数求值域（观察法）2.配方法；3.反函数法；4.判别式法；5.换元法；6.函数有界性（中间变量法）7.单调性法；8.不等式法；9.数形结合法；10.导数法等。

例1.函数y =的值域是( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 例2.函数()()2log 31xf x =+的值域为( )A. ()0,+∞B. )0,+∞⎡⎣C. ()1,+∞D. )1,+∞⎡⎣ 例3.设函数2()2()g x x x R =−∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<−≥=则()f x 的值域是( )（A ）9,0(1,)4⎡⎤−⋃+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4−+∞（D ）9,0(2,)4⎡⎤−⋃+∞⎢⎥⎣⎦例4.已知0t >，则函数241t t y t−+=的最小值为____________ .例5.已知函数M ,最小值为m ,则mM的值为( )(A)14(B)12(C)22(D)32例6.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是( ) A ．1[,3]2 B ．10[2,]3C ．510[,]23D ．10[3,]3题型五：函数单调性例1.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈−∞≠，有2121()(()())0x x f x f x −−>.则当*n N ∈时,有(A)()(1)(1)f n f n f n −<−<+ (B) (1)()(1)f n f n f n −<−<+ (C) (1)()(1)f n f n f n +<−<− (D) (1)(1)()f n f n f n +<−<− 例2.下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈(0,+∞),当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是A.()f x =1xB.()f x =2(1)x − C .()f x =x e D.()ln(1)f x x =+ 例3.给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =−，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④例4.定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如右图所示,则在()2,0−上,下列函数中与()f x 的单调性不同的是A.21y x =+ B. ||1y x =+C. 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D.,,0x x e x oy e x −⎧≥⎪=⎨<⎪⎩例 5.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x −<1()3f 的x 取值范围是 (A)(13,23) (B) [13,23) (C)(12,23) (D) [12,23) 例6.用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值设f(x)=min{2x , x+2,10-x} (x ≥0),则f(x)的最大值为A.4B.5 C .6 D.7例7．设函数⎩⎨⎧<+≥+−=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ．),3()1,3(+∞⋃−B ．),2()1,3(+∞⋃−C ．),3()1,1(+∞⋃−D ．)3,1()3,(⋃−−∞例8．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x−−<的解集为（ ）A ．(10)(1)−+∞，， B ．(1)(01)−∞−，， C ．(1)(1)−∞−+∞，， D ．(10)(01)−，， 例9．定义域为R 的函数()f x 满足条件:①12121212[()()]()0,(,,)f x f x x x x x R x x +−−>∈≠;②()()0f x f x +−= ()x R ∈; ③(3)0f −=.则不等式()0x f x ⋅<的解集是( ) A.{}|303x x x −<<>或 B.{}|303x x x <−≤<或 C.{}|33x x x <−>或 D.{}|3003x x x −<<<<或例10．已知函数⎩⎨⎧≥+−<=)0(,4)3()0(,)(x a x a x a x f x .满足对任意的21x x ≠都有0)()(2121<−−x x x f x f成立,则a 的取值范围是( )A. ]41,0( B. )1,0( C. )1,41[ D. )3,0(题型六：函数奇偶性与周期性例1．若1()21x f x a =+−是奇函数,则a =____________.例2．函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a −=，则()f a 的值为A ．3B ．0C ．-1D ．-2例3．设函数f(x)=x(e x+ae -x)(x ∈R)是偶函数，则实数a =__________例4．已知函数)(x f 是),(+∞−∞上的偶函数，若对于0≥x ，都有）x f x f ()2(=+，且当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2017()2018(f f +−值为（ ）A ．2−B ．1−C ．1D ．2例5．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=,若(1)2f =,则(99)f =（ ）A.13B.2C.132D.213例6．若函数f （x ）=3x+3-x与g （x ）=3x -3-x的定义域均为R ，则（ ）A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数例7．已知函数()y f x =的图象与函数22()log (2)g x x x =++的图象关于直线2x =对称，则(3)f =__________. 例8．已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()22.f x f x +=−,若方程()0=x f 有且仅有三个根，且x =0为其一个根，则其它两根为___________。

例9．对于定义在R 上的函数()f x ，有下述四个命题：①若()f x 是奇函数，则(1)f x −的图象关于点A （1，0）对称；②若对x ∈R ，有(1)(1)f x f x +=−，则()y f x =的图象关于直线1x =对称； ③若函数(1)f x −的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =−的图象关于直线1x =对称。

其中正确命题的序号为__________（把你认为正确命题的序号都填上）例10．函数y=22log 2xy x−=+的图像( ) （A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =−对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称例11．定义在R 上的偶函数()f x 满足[](1)(),()0f x f x f x +=−且在－１，上是增函数，下列五个关于()f x 的命题中 ①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于1x =对称；③()f x 在［0，1］上是增函数 ④()f x 在［1，2］上是减函数； ⑤(2)(0)f f =正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个例12．若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅− 是（ ）（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数例13．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x −都是奇函数，则( )(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数例14．（2008安徽）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e −=，则有（ ）A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<题型七：函数图像例1.函数x xx xe e y e e −−+=−的图像大致为( ).例2.设a ＜b,函数2()()y x a x b =−−的图像可能是( ).例3.函数22xy x =−的图像大致是（ ）例4．函数|1|||ln −−=x e y x 的图象大致是（ ）例5．如图所示，一质点(,)P x y 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点(,0)Q x 的运动速度()V V t =的图象大致为yxO(,)P x y (,0)Q xA B C D 例6．函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )题型八：函数性质的综合应用例1. 一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是1（A ） （B ） （C ） （D ） 例2.已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=−≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f −<−，则（ ）（A ）0<λ （B ）0=λ（C ）10<<λ （D ）1≥λ例 3.设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．2−B ．4−C ．8−D ．不能确定例 4.设函数()y f x =在（−∞，+∞）内有定义。