越州中学高三数学周周练（二）
姓名____________班级____________学号__________
一、单选题
1．从4种不同蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，则不同的种植方法有（ ）
A ． 4
B ． 12
C ． 24
D ． 36 【答案】C
2．5人站成一列，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（） A ．18 B ．24 C ．36 D ．48
【答案】D
3.有甲、乙、丙三位同学， 分别从物理、化学、生物、政治、历史五门课中任选一门，要求物理必须有人选，且每人所选的科目各不相同，则不同的选法种数为（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．72
【答案】B
4．在某次大合唱中，要求6名演唱者站一横排，且甲不站左端，乙不站右端，则不同的站法种数为（ ） A ． 504 B ．488 C ．486 D ．368
【答案】A
5．如图，对,,,,A B C D E 五个区域涂色，可选用四种不同颜色，要求相邻 区域不同色，则不同的涂色方法种数有（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．72 【答案】D
6. 已知各个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（ ） A.π12 B.π16 C.π20 D.π24 【答案】A
7.函数()sin =⋅f x x x 的图象大致是 （ ）
第5题
A.
B.
C.
D.
【答案】B
8.若双曲线22
2:14y x C b
-=的两个顶点将焦距三等分，则焦点到渐近线的距离是
A.2
B.4
C.6 【答案】C
9.平面向量a ，b 满足3a b ，2a
b ，则a b 与a 夹角的最大值为
A.
2
π B.
3π
C.
4
π
D.
6
π 【答案】D
10. 已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） b a > B. b a <
C. a b e b e a ->- D . a b e b e a -<- 【答案】C 二、填空题
11.学校要安排7位行政人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日．不同的安排方法共有______种．（用数字作答） 【答案】2400
12.有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有______种不同的排列方法.（用数字作答） 【答案】288
13.从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数的个数为__________．（用数字作答） 【答案】36
14.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，满足286a a +=，55S =-，则6______a =，n S 的最小值为____________. 【答案】5,-9 15. 在ABC △中，5
cos
2C ，1BC ，5AC ，则cos C ，sin A .
【答案】35- 16.已知C ，F 分别是椭圆2
22
2
:1x y a
b 的左顶点和左焦点，A 、B 是椭圆的下、上顶点，设AF
和BC 交于点D ，若2CD DB =，则椭圆的离心率为 .
【答案】
15
17.已知函数()2019
x a x a f x --+=
，其中0a >，若()()g x f x ax =-只有一个零点，则a 的取值
范围是__________．
【答案】
2,2019⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
三、解答题
18. 已知函数2
()22sin .f x x x =+
(1)求()f x 的最小正周期及单调递增区间； (2)求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最大值．
19.如图，已知长方形中，,为的中点. 将沿折起，使得平面平面.
（I）求证：；
（II）若点是线段的中点，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：（I）：因为平面平面，是的中点，，取的中点，连结，则平面，取的中点，连结，则，以为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得
，，，，则
，所以,故；
（II）依题意得，因为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，而,，则，且，，取，得，，
，所以二面角的余弦值为.
20.在数列{}{}n n a b 、中，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，12n n a a +=+，
*1235(21)21,.n n n b b n b a n N ++
++=⋅+∈
（1） 求
n a 和
n
S ； （2）若n k ≥时，
8n n
b S ≥恒成立，求整数k 的最小值.
21.已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为
32
的椭圆过点(2，
22
)．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足
直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围． ( Ⅰ) 解：由题意可设椭圆方程为
222
2
1x y a b +
= (a ＞b ＞0)， 则223
,2211,
2c a a b
=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故2,1.a b ==⎧⎨⎩
所以，椭圆方程为
2214
x y +=． ……………………………4分
(Ⅱ) 解：由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，
故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由2
2
,440,
y kx m x y =++-=⎧⎨
⎩ 消去y 得
(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，
则Δ＝64 k 2b 2－16(1＋4k 2b 2)(b 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且122
814km x x k
-+=
+，2122
4(1)14m x x k -=
+． ……………………7分
故 y 1 y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2． 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以
1212
y y x x ⋅
＝
22
121212
()k x x km x x m x x +++＝k 2，……………………9分
即
222
814k m k
-+＋m 2＝0，又m ≠0，
所以 k 2＝
14，即 k ＝1
2
±． …………………11分 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得 0＜m 2＜2 且 m 2≠1．…………………12分 设d 为点O 到直线l 的距离，
x
y
O (第21题)
P
Q
则 S △OPQ ＝
1
2d | PQ |＝
1
2
| x 1－x 2 | | m |
，…………………13分
所以 S △OPQ 的取值范围为 (0，1)． ……………………………15分
22.已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若对任意x >0，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（1）
…………3分 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，
所以，在处取得最大值，且最大值为0． ………………………7分 （2在上恒成立．
………………………9分
当时，；当时，，所以， 要使
...........................12分 另一方面，当，要使恒成立，必须． 所以，满足条件的的取值范围是 (15)
()ln f x x =()()1g x f x x =+-()21f x ax x ≤≤+a ()()()ln 11g x x x x =+->-()1,0x ∈-()0g x '>()g x ()1,0-()0,x ∈+∞()0g x '<()g x ()0,+∞()g x 0x =0x >()1,x e ∈()0h x '>(),x e ∈+∞()0h x '<()f x ax ≤0x >21ax x ≤+2a ≤a。