【高等数学基础】形考作业1参考答案第1章函数第2章极限与连续(一)单项选择题⒈下列各函数对中,(C)中的两个函数相等.A.2f(x)(x),g(x)xB.2f(x)x,g(x)xC.3f(x)lnx,g(x)3lnxD.f(x)x1,g( x)2xx11分析:判断函数相等的两个条件(1)对应法则相同(2)定义域相同A、2f(x)(x)x,定义域x|x0;g(x)x,定义域为R 定义域不同,所以函数不相等;B、2f(x)xx,g(x)x对应法则不同,所以函数不相等;C、3f(x)lnx3lnx,定义域为x|x0,g(x)3lnx,定义域为x|x0 所以两个函数相等D、f(x)x1,定义域为R;21xg(x)x1x1,定义域为x|xR,x1定义域不同,所以两函数不等。
故选C⒉设函数f(x)的定义域为(,),则函数f(x)f(x)的图形关于(C)对称.A.坐标原点B.x轴C.y轴D.yx分析:奇函数,f(x)f(x),关于原点对称;偶函数,f(x)f(x),关于y轴对称yfx与它的反函数1yfx关于yx对称,奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设gxfxfx,则gxfxfxgx所以gxfxfx为偶函数,即图形关于y轴对称故选C⒊下列函数中为奇函数是(B).2A.yln(1x)B.yxcosxC.xa xayyln(1x)D.2分析:A、22 yxln(1x)ln1xyx,为偶函数B、yxxcosxxcosxyx,为奇函数或者x为奇函数,cosx为偶函数,奇偶函数乘积仍为奇函数C、xxaa yxyx,所以为偶函数2D、yxln(1x),非奇非偶函数故选B⒋下列函数中为基本初等函数是(C).A.yx1B.yxC.2yxD.y11,,xx分析:六种基本初等函数(1)yc(常值)———常值函数(2)yx,为常数——幂函数x(3)yaa0,a1———指数函数(4)ylogxa0,a1———对数函数a(5)ysinx,ycosx,ytanx,ycotx——三角函数yarcsinx,1,1,(6)yarccosx,1,1,——反三角函数yarctanx,yarccotx分段函数不是基本初等函数,故D选项不对对照比较选C⒌下列极限存计算不正确的是(D).2x A.lim12x2x B.limln(1x)0x0sinx C.lim0xx1 D.limxsin0xx分析:A、已知1lim0n0nxx,2x22xx11limlimlim1222x2x2110xxx222xxxB、limln(1x)ln(10)0,初等函数在期定义域内是连续的x0C、sinx1limlimsinx0xxxx,x时,1x是无穷小量,sinx是有界函数,无穷小量×有界函数仍是无穷小量D、1limxsinlimxxxsin11x ,令 1t0,xx,则原式sintlim1t0tx故选D⒍当x0时,变量(C)是无穷小量.A. s inxxB.1xC.x 1sinln(x2)D.x分析;limfx0,则称f x为xa时的无穷小量xaA、sinxlim1,重要极限x0xB、1limxx,无穷大量C、1limxsin0,无穷小量x×有界函数x0xsin1x仍为无穷小量D、l imln(x2)=ln0+2ln2x0故选C⒎若函数f(x)在点x满足(A),则f(x)在点x0连续。
A.limf(x)f(x0)xxB.f(x)在点x0的某个邻域内有定义C.limf(x)f(x0)xx0 D.limf(x)limf(x)xxxx00分析:连续的定义:极限存在且等于此点的函数值,则在此点连续即l im xx 0f xfx 0连续的充分必要条件limfxfxlimfxlimfxfx00xxxxxx 000 故选A (二)填空题2x9⒈函数f(x)ln(1x)的定义域是x |x3.x3分析:求定义域一般遵循的原则(1)偶次根号下的量0(2)分母的值不等于(3)对数符号下量(真值)为正(4)反三角中反正弦、反余弦符号内的量,绝对值小于等于1(5)正切符号内的量不能取0,1,2kk2然后求满足上述条件的集合的交集,即为定义域2x9f(x)ln(1x)要求x3290 x xx3或3x30得x3求交集-3-13 x-11x0定义域为x|x32-x.⒉已知函数f(x xx,则f(x)x21)分析:法一,令tx1得xt1222则f(t)t1t1tt则f xxx法二,f(x1)x(x1)x11x1所以f(t)t1t⒊1x lim(1).x2x分析:重要极限lim1x 1xxe,等价式1lim1x x ex0推广limxa 1fx则l im(1)fxxaf xe1fxlim f x则0lim(1fx)e xaxa112x lim(1)lim(1) xx2x2x x11 22e1x(1x),x0 ⒋若函数f(x),在x0处连续,则k e.xk,x0分析:分段函数在分段点x处连续0 limfxlimfxfx0 xxxx00limfxlimxk0kkx0x01limfxlim1xexx0x0所以ke⒌函数x1,x0 y的间断点是x0.sinx,x0分析:间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性(利用连续的充分必要条件)limfxlimx1011x0x0limfxlimsinx0x0x0不等,所以x0为其间断点⒍若fxAlim()xx0 ,则当xx时,f(x)A称为x x时的无穷小量.分析:l im(f(x)A)limf(x)limAAA0 xxxxxx000所以f(x)A为xx0时的无穷小量(三)计算题⒈设函数f(x)xex ,,xx,求:f(2),f(0),f(1).解:f22,f00,1 f1ee⒉求函数ylg2x1x 的定义域.解:ylg2x1x 有意义,要求2x1xx0解得10x或x,则定义域为2x0x|x0或x12⒊在半径为R的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直径重合,另一底边的两个端点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高的函数.解:DAROhEBC设梯形ABCD 即为题中要求的梯形,设高为h ,即OE=h ,下底CD =2R 直角三角形AOE 中,利用勾股定理得 2222 AEOAOERh,则上底=222AE2Rh故h 2222S2R2RhhRRh2⒋求sin3x lim xsin2 0x. 解: sin3xsin3x 3xsin3x3x3x3limlimlimsin2xsin2x x0x0x0sin2x2x22x2x=133 122⒌求2 x limx 1sin(x1 1). 解:2 x1(x1)(x1)x111limlimlim2sin(x1)x 1sin(x1)x 1sin(x1)x11x1⒍求 limx0t an x3x . 解:tan3xsin3x1sin3x11 limlimlim3133 x0x0x0xxcos3x3xcos3x1⒎求2 1x lim xsinx 0 1. 解: 2222 1x1(1x1)(1x1)x limlimlimx0x02x02sinx(1x1)sinx(1x1)sinxx0lim0sin111xx02(1x1) x⒏求x1 xlim(). xx3解:111xx11(1)[(1)]1 xxxxee1xxlim()lim()limlim33x3x3x1x(1)x x[(11)]xe33xxx34⒐求2x6xlim2x4x5x84.解:2x4x2 x6x8x2422limlimlim2x4x4x4x5x4x4x1x1413⒑设函数(x22) , x 1f(x)x,1x1x1,x1 讨论f(x)的连续性,并写出其连续区间.解:分别对分段点x1,x1处讨论连续性(1)limfxlimx1x1x1limfxlimx1110x1x1所以limfxlimfx,即fx在x1处不连续x1x1(2)22limfxlimx2121x1x1limfxlimx1x1x1f11所以l imfxlimfxf1即fx在x1处连续x1x1由(1)(2)得fx在除点x1外均连续故fx的连续区间为,11,。