2AC ·AD 2×30 5×20 10 6 000 2 2
一、选择题
1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )
A ．北偏东 10°
B ．北偏西 10°
C ．南偏东 80°
D ．南偏西 80°
解析：选 D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°， 所以∠DBA ＝10°，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°.
2．已知 A 、B 两地间的距离为 10 km ，B 、C 两地间的距离为 20 km ，现测得∠ABC ＝ 120°，则 A ，C 两地间的距离为( )
A ．10 km
C ．10 5 km
解析：选 D.如图所示，由余弦定理可得：
B ．10 3 km D ．10 7 km
AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， 所以 AC ＝10 7(km)．
3. 如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB ，CD 的高度分别为 20 m 、50 m ，BD 为水平面， 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 等于( )
A ．30° C ．60°
B ．45° D ．75°
解析：选 B.依题意可得 AD ＝20 10 m ，AC ＝30 5 m ，又 CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得
AC 2＋AD 2－CD 2
cos ∠CAD ＝
（30 5）2＋（20 10）2－502 6 000 2
＝ ＝ ＝ ，
又 0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河 对岸的码头 B .已知 AB ＝1 km ，水的流速为 2 km/h ，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短 时间为 6 min ，则客船在静水中的速度为( )
⎛1v⎫2＝⎛1×2⎫2＋12－2×1×2×1×4，1＝，所以由余弦定理得⎝10⎭⎝10⎭
(
A．20⎝1＋
3⎭B．20(1＋3)m
3⎫
sin B sin∠ACB A．8km/h B．62km/h
C．234km/h D．10km/h
解析：选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，
0.634
sinθ＝
5
，从而cosθ＝5105
解得v＝6 2.
5．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，
某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m
到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()
A．50m B．100m
C．120m D．150m
解析：选A.设水柱高度是h m，水柱底端为C，△
则在ABC中，A＝60°，AC＝h，AB
＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.
6．(2018·江西联考)某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为()
⎛m
C．10(2＋6)m D．20(2＋6)m
解析：选B.如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20m，CE＝203m.所以CD＝20(1＋3)m.故选B.
二、填空题
7.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距
20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮
的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．
AC AB 解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC
＝＝＝106，所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．答案：
6
＝135°，△在ABS中，由正弦定理可得＝，所以AB＝10002，所以BC ON＝AO tan30°＝3×30＝103(m)，
解析：设塔高为h m，依题意得，tanα＝，tanβ＝，tanγ＝.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tanγ＝tan(90°－γ)tanγ＝＝＝
B Cβγ
AB·sin B20×sin60°1066
sin∠ACB sin45°303
3
8.(2018·河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．
解析：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，所以∠ASB
1000AB
sin30°sin135°
AB
＝＝1000.
2
答案：1000
9．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析：如图，OM＝AO tan45°＝30(m)，
3
△
在MON中，由余弦定理得，MN
＝900＋300－2×30×103×
3
2
＝300＝103(m)．
答案：103
10．(2018·福州综合质量检测)在距离塔底分别为80m，160m，240m的同一水平面上的A，，处，依次测得塔顶的仰角分别为α，，.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.
h h h
80160240
sin（90°－γ）sinγcosγsinγ
cos（90°－γ）cosγsinγcosγ
tanα＋tanβ80160h
1－tanαtanβ
1，所以·tanγ＝1，所以·＝1，解得h＝80，所以塔高为80m.
1－·
所以渔船甲的速度为＝14海里/时．
由正弦定理，得
AB
sinαsin120°
AB sin120°233
即sinα＝＝＝.
h h
＋
h h240
80160
答案：80
三、解答题
11.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东
α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinα的值．
解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.△在ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·A C·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.
BC
2
(2)△在ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
BC
＝，
3
12×
BC2814
12.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q，在点Q 处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
解：在△Rt AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝1003，连接QM，△在PQM 中，∠QPM＝60°，又PQ＝1003，△
所以PQM为等边三角形，
所以QM＝100 3.
在△Rt AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.
在△Rt BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，
所以BQ＝1005，cosθ＝
5 . 5
△
在BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·A Q cosθ＝(1005)2，所以BA＝100 5.
即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米．。