L 1 2 0.2s Req 5
+
1H
10V –
5 2 0.25F
i S
uC (t ) uC (∞) [uC (0 ) uC (∞)]e

t

10e2t V
iL (t ) iL (∞) [iL (0 ) iL (∞)]e

t

2(1 e 5t )A
例3 已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)。
2 1 0.1F 2A i1 1 + － uC 4 8V 2i1 － + － +
4 解 三要素为 uC (0 ) uC (0 ) 8V i1 4 4 + 2i1
－
+ u
－
uC (∞ 4i1 2i1 6i1 12V )
例8-9 图8-23(a)所示电路中，电感电流iL(0-)=0, t=0时，开关S1闭
合，经过0.1s，再闭合开关S2，同时断开S1。试求电感电流iL(t)，并
画波形图。 解： 1. 在0 t 0.1s时间范围内 响应的计算
其解答一般形式为：
令 t = 0+
特 解
t
f (t ) f (t ) Ae
0

f (0 ) f (t)
A
0
A f (0 ) f (t)
f (t ) f (t ) [ f (0 ) f (0 )]e
直流激励时：

t

f (t ) f (0 ) f (∞ )
例1：已知电感无初始储能t = 0 时合S1 , t =0.2s时合S2 ，求两次 换路后的电感电流i(t)。 解：分两个阶段求解 ①当0 < t < 0.2s时 ，S1合上，S2断开。 初始值为： i 0 i 0 0
10 稳态值为： i 2A 5
时间常数为： L 1 0.2s R 23
课前提问：
在图示电路中，开关S在位置“1”的时间常数为τ1，在位置“2” 的时间常数为τ2，τ1和τ2的关系是（ ）。
(a)τ1=2τ2；
1 + US － 2 S
(b)τ1=τ2/2；
R
(c)τ1=τ2。
答案： （b）
R
C
1 RC
2 2RC
1 RC 1 2 2 RC 2
uC (0 ) uC (0 ) 2V
②稳态值为：
uC(V) 2 0.667
O
t
2 1 uC (∞) 1 0.667V 2 1
2 ③时间常数为： Req C 3s 2 s 3
t
uC (t ) uC (∞) [uC (0 ) uC (∞)]e
若不画 t =(0+) 的等效电路，则在所列 t =0+ 时的方程中应有 uC = uC( 0+)、iL = iL ( 0+)。 (3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L R0
对于一阶RL电路 注意：
1) 对于简单的一阶电路 ，R0=R ; 2) 对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
5 解法2 三要素为 i1
5 + 20V 2A – i2
iL (0 ) 2A
iL () 6A
+ 10V –
L 1 s R 5 (10 20) i1 (0 ) [ 1]A 0A 10 (20 10) i2 (0 ) [ 1]A 2A 10
US
uC'
uC uC" 全解
t
U0
O
U0 -US
瞬态解
②着眼于因果关系
t
便于叠加计算
t
uC U S (1 e ) U 0e
零状态响应

(t 0)
零输入响应
全响应
= 零状态响应 + 零输入响应
S(t=0) R + US C – uC (0－)=0
S(t=0) R + US C – uC (0－)=U0
第8章 一阶电路分析
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7 零输入响应 零状态响应 完全响应 三要素法 阶跃函数和阶跃响应 冲击函数和冲击响应 电路应用、电路实验和计算机分析电路实例
重点： 1、一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响 应的概念及三要素法 2、一阶电路的阶跃响应概念及求解
通解
uC Ae

t

由初始值定K
uC (0－)=U0
uC (0+)=A+US=U0
t
A=U0 - US
t
uC US Ke U S (U 0 U S )e
强制分量(稳态解)
t0
自由分量(瞬态解)
二、全响应的两种分解方式
①着眼于电路的两种工作状态
稳态解 物理概念清晰 全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(瞬态解) uC
f (t )
O
(a) f (0 ) 0
f (t )
f (0 )

f (0 )
t
O
(b) f (0 ) 0
f (t )

t
f (0 )
f ( )
O
(c ) f ( ) 0

t
O
f () 0 (d )
t
3、三要素法求解暂态过程的步骤
(1) 求初始值、稳态值、时间常数；
§8-3 完全响应
全响应 电路的初始状态不为零，同时又有外 加激励源作用时电路中产生的响应。 以RC电路为例，电路微分方程：
一、全响应
S(t=0) R
+ uR –
US i
C
+ uC –
duC RC uC U S dt 解答为 uC(t) = uC' + uC"
特解 uC' = US
= RC
iL t iL iL 0 iL e
②当t> 0.2s时， S1、S2均合上。

t

2 2e5t A
初始值为： i 0.2 i(0.2 ) (2 2e50.2 )A 1.26A
初始值为： i 0.2 1.26A
(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式； (3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。
f(t)
终点
f ()
f (0 )
O
起点

t
响应中“三要素”的确定
(1) 稳态值 f ( ) 的计算 求换路后电路中的电压和电流 ，其中电容 C 视 为开路, 电感L视为短路，即求解直流电阻性电路 中的电压和电流。 iL 例： t=0 S 5k t =0 S 3 + 10V 5k C +u - C 1 F 6 6 6mA 1H
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
R0的计算类似于应用戴维宁· 定理解题时计算 电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去
的等效电阻，如图所示。
例1：图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求：t＞0 后的电容电压uC并画出波形图。 解：应用三要素法 ①电容电压的初始值为：
+
S(t=0) R + US C – uC (0－)=U0
uC US (1 e ) U 0e
零状态响应 US U0

t

t

(t 0)
零输入响应
uC
全响应
零状态响应
O
t
零输入响应
§8-4
一、三要素法
1、三要素
三要素法
一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：
df a bf c dt
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(2) 初始值f (0 ) 的计算 1) 由t=0- 电路求 uC (0 )、i L (0 ) 2) 根据换路定则求出
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
5t
0＋等效电路 10 i1 () 2A 5 20 i2 () 4A 5
5t
iL (t ) [6 (2 6)e ]A (6 4e )A t 0
i1 (t ) [2 (0 2)e5t ]A (2 2e5t )A
i2 (t ) [4 (2 4)e 5t ]A (4 2e 5t )A

uC t 0.667 (2 0.667)e0.5t V (0.667 1.33e0.5t )V t 0
例2 t =0时 ,开关闭合，求t >0后的iL、i1、i2。
解法1 三要素为 10 iL (0 ) iL (0 ) A 2A 5 5 5 iL
u u 8i1 2i1 10i1 Req 10Ω i1
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC (∞)]e
t
ReqC 10 0.1s 1s


t

t
uC (t ) [12 ( 8 12)e ]V (12 20e )V
uC (t ) i(t ) iL (t ) [2(1 e 5t ) 5e 2t ]A 2