第一章《解三角形》章末演练[A.基础达标]1．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4 B.3π4 C.π4D.π6 2．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53 B.23 C ．－53D.533．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 34．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船 以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A.12小时 B ．1小时 C.32小时 D ．2小时5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的大小是________．7．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.8．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.9．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，观察点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217 s ．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得最高点H的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340 m/s)10．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．[B.能力提升]1．在三角形ABC 中，已知三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin Bsin 2C 的值等于( )A ．1B ．2C ．－2D.122．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，则边长c 的取值范围是________．3．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．5．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶，经过t 小时小艇与轮船相遇，假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短的时间与轮船相遇，并说明理由．参考答案[A.基础达标]1.解析：选C.由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.2.解析：选A.因为a sin A ＝bsin B ，所以15sin 30°＝20sin B，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.3.解析：选C.∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.4.解析：选B.在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．5.解析：选B.法一：由已知可得1－cos A 2＝12－b2c，即 cos A ＝bc，b ＝c cos A .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由法一知b ＝c cos A ，由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )， 从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0， 所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6.解析：由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13，所以cos C ＝13.答案：137.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：1458.解析：如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°， AB ＝1 (km)．由正弦定理得 BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60·sin 15°＝6－223(km)． 设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)． 答案：369.解：由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40) m ，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2·BA ·CA ·cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝1002＋x 2－100x ， 解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝AC sin ∠AHC ，可得CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(m)．即该仪器的垂直弹射高度CH 为140 6 m.10.解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2 A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A ＝5.[B.能力提升]1.解析：选B.由已知不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)，所以cos C ＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k ＝－14，于是sin A －2sin B sin 2C ＝sin A －2sin B2sin C cos C＝a －2b 2c ·cos C＝2k －6k8k ×⎝⎛⎭⎫－14＝2. 2.解析：要构成锐角三角形，则三个内角都是锐角，或最大角为锐角才可以．由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2>c 2a 2＋c 2>b 2，b 2＋c 2>a 2即⎩⎪⎨⎪⎧13>c 2，4＋c 2>9，9＋c 2>4.即5<c 2<13，解得5<c <13. 答案：(5，13)3.解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×2×14＝4，故c ＝2.因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ，即sin A ＝a sin C c＝1×1542＝158(或由a ＝1，b ＝2，c ＝2得cos A ＝22＋22－122×2×2＝78，于是sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.答案：21584.解：(1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3， 所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A .由正弦定理，得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.5.解：设小艇航行速度的大小是v 海里/小时，如图所示，设小艇与轮船在B 处相遇．由余弦定理得BO 2＝AO 2＋AB 2－2AO ·AB cos A ，所以(v t )2＝400＋(30t )2－2×20×30t cos(90°－30°)， 即(v 2－900)t 2＋600t －400＝0(其中0<v ≤30)， ①当0<v <30时，则Δ＝360 000＋1 600(v 2－900) ＝1 600(v 2－675)，令Δ＝0，即1 600(v 2－675)＝0，则v ＝153，当0<v <153时，两船不会相遇；当153≤v <30时， 此时t ＝－300±20 v 2－675v 2－900；当t ＝－300－20 v 2－675v 2－900时，令x ＝v 2－675，则x ∈[0，15)， t ＝－300－20x x 2－225＝－20x －15≥43，当且仅当x ＝0，即v ＝153时，等号成立； 当t ＝－300＋20 v 2－675v 2－900时，同理可得23<t ≤43；综上可得，当153≤v ＜30时，t >23；②当v ＝30时，可求得t ＝23；综合①②可知，当v ＝30时，t 取得最小值，且最小值是23，此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，所以可设计方案如下： 小艇的航行方向是北偏东30°，航行速度为30海里/小时，此时小艇能以最短的时间与轮船相遇．。