a / /b
线面平行）；
b
a

3. 直线与平面平行的性质定理：线面平行 β
b a / /b a / / a
线线平行 a b
α
4. 判断平面与平面平行的方法： 关键是找平行线
法一:三角形的中位线定理； 法二:平行四边形的平行关系。
（1）定义法：平面与平面没有公共点则面面平行；
(1)求异面直线A1B与B1C所成的角的大小; (2)求直线A1B与平面BB1D1D所成的角; (3)求二面角A—BD—A1的正切值; (4)求证:平面A1BD//平面CB1D1;
A1
D1 B1 D A
C1
(5)求证 : 直线AC1 平面A1BD;
(6)求证 : 平面ABC1 平面A1BD;
一、平面的特点：
（1）“平”；（2）“无限延展”； （3） “无厚薄”；（4）“无大小”；（5） “无宽窄”
二：平面的表示
记作：平面 平面 ABCD
D A

C B
平面AC或平面BD
三、空间中几种位置关系
1、点与直线的位置关系
（1）点A在直线l上： （2）点A在直线l外：
Al
Al
记作：
2、点与平面的位置关系
β
a
α
a
l
A
例1. , a , a a / /
小结： 空间中的平行关系的转化
线线 平行 线面平行判定 线面平行性质 线面 面面平行判定 平行 面面平行性质 面面 平行
面面平行性质
空间中的垂直关系的转化 线线 垂直 线面 垂直 面面 垂直
平行和垂直关系的转化
空间中的平行
β
Байду номын сангаасa b
a a / /b b
α
8. 判断平面与平面垂直的方法： （1）定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角。 （2）判定定理：线线垂直线面垂直面面垂直
a a 面
β

α
a A
8. 平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直线面垂直
l a al
定义：不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线 。 两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
2.判断直线与平面平行的方法： （1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行； （2）判定定理：（线线平行 a b a / /
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线在此平面内。 作用:判定直线是否在平面内．
公理2
推论1 推论2 推论3 公理3
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平 面． 作用：确定平面的主要依据．
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有 一个平面。 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线．
C B
(7)求点A1到平面CB1D1的距离.
例2如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是 棱CC1的中点 （Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M
空间中的垂直
1.异面直线所成角：范围
求异面直线所成的角的步骤是:
(0，90]
一作(找)：作（或找）平行线； 二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角； 三求：在一恰当的三角形中求出角。
2. 直线与平面所成角：范围
Ｐ Ａ Ｏ
[0，90]
注：已知角，要求角， 关键找射影。

例1：在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，
（2）判定定理：线线平行线面平行面面平行
a ,b ab P // a // , b //
b

P
a

5. 平面与平面平行的性质： ⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线 都与另一个平面平行. / / , a a a / /
作用:(1)判断两个平面相交的依据; (2)判断点在直线上。
1.如果三个平面两两相交，那么它们的 交线有多少条？画出图形表示你的结论。
答:有可能1条，也有可能3条交线。
（ 1）
（ 2）
2、 3个平面把空间分成几部分？
（ 1）
4
（ 2）
6
（ 3）
6
（ 4）
7
（ 5）
8
1.异面直线: 证明异面直线时常用反证法。
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它 们的交线平行. / / , a, b a / /b
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么 它也和另一个平面相交. / / , a A a B ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等。




a
b
a

6. 直线与平面垂直的方法：
（1）定义法：直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直。
（2）判定定理：线线垂直线面垂直
a l b a b A
la l b
l
b

A
a
(3)例 1.a / /b, a b
7. 直线与平面垂直的性质：
点A在平面 内： 记作 A ． 点B在平面 外： 记作B ．
3、空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 平行直线
按平面基本性质分
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
无 公 共 点 平行直线
异面直线
4、直线与平面的位置关系
直线a在平面内
有无数个公共点

a a
a α
a α A
直线a 与平面α相交
有且只有一个公共点
A
直线a与平面α平行
没有公共点
a

a //α
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
5、两个平面的位置关系
位置关系
公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交
有一条公共直线
α∩β=a