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2020年山东省专升本真题(数二)及解析

机密★启用前 试卷类型:公共课 科目代码:102山东省2020年普通高等教育专升本统一考试高等数学II 试题本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。

满分100分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:1. 答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写到试卷规定的位置上,并将姓名、考生号、座号填(涂)在答题卡规定的位置。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在本试卷上无效。

3.第Ⅱ卷答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将答题卡的相应代码涂黑。

错涂、多涂或未涂均无分。

1. 当0x →时,以下函数是无穷小量的是( )A. 21x + C. sin x D. cos x 2. 以直线0y =与为水平渐近线的曲线( )A. xy e = B. ln y x =C. tan y x =D.3y x = 3. 若()2baf x dx =⎰,()1b ag x dx =⎰,则[]3()2()baf xg x dx -=⎰( )A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 微分方程2sin ydy x xdx e +=的通解为( ) A. 2cos y e x x C =++ B. 2cos y e x x C =-+ C. 2sin y e x x C =++ D. 2sin y e x x C =-+ 5. 已知函数(,)f x y 在2R 上连续,设21320(,)yy I dy f x y dx -=⎰⎰,则交换积分次序后I = ( ) A. 231320010(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰B.2133201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰C. 133201(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰D.3132010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)6. 函数()f x =的定义域为__________. 7. 已知函数3()32f x x x =+-,()tan g x x =,则4f g π⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_________. 8. 函数2ln y x x =+在(1,2)处的切线的斜率为___________.9. 曲线1y x=和1x =,3x =及x 轴所围成的图形的面积S ____________. 10.已知函数2arctan(2)z x y =,则全微分dz =____________.三、解答题(本大题共8小题,每小题7分,共56分)11. 求极限2211lim 322x x x x →⎛⎫-⎪-+-⎝⎭. 12.求极限203sin limxx t dt x →⎰.13.已知函数2, 0()1, 0, 0x x b x f x x ae b x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩,在0x =处连续,求实数,a b 的值.14.求不定积分1ln xdx x +⎰.15. 求定积分20(1)cos x xdx π-⎰.16.求微分方程'1xy y e +=+的通解。

17.已知sin yz x x=,求2z x y ∂∂∂.18.计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰,其中D 由y x =,5y x =与6y x =-+所围成的闭区域.四、应用题(本大题共7分)19.假设某产品的市场需求量Q (单位:吨)与销售价格P (单位:万元)的关系式为()453Q P P =-,其总成本函数为()203C Q Q =+,问P 为何值时利润最大?最大利润是多少.五、证明题(本大题共7分)20.设函数()f x 在[]1,2上连续,(1,2)上可导,且(1)4(2)f f =,证明:存在(1,2)ξ∈,使得2()'()0f f ξξξ+=.机密★启用前 试卷类型:公共课 山东省2020年普通高等教育专升本统一考试高等数学II 试题参考答案及评分标准一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1. 答案:C.解析:根据无穷小量定义可知,函数0limsin 0x x →=,sin x 是无穷小量。

2. 答案:A.解析:结合函数的图形可知A 正确,事实上lim 0x x e →-∞=。

3. 答案: D. 解析:[]3()2()3()2()3224b bba aaf xg x dx f x dx g x dx -=-=⨯-=⎰⎰⎰.4. 答案:B.解析:分离变量积分得(2sin )y e dy x x dx =+⎰⎰,即2cos y e x x C =-+。

5. 答案:D.解析:Y 型积分区域为20,1,32y y x y x y==⎧⎨==-⎩所围封闭区域,转化为X型积分区域为12013002x x x y y ≤≤⎧≤≤⎧⎪⎪⎨⎨-≤≤≤≤⎪⎩⎪⎩, 故313201(,)(,)x I dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰。

二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 6.答案:(3,)+∞解析:由原题得30x ->,解得3x > 7.答案:2.解析:3(())tan 3tan 2f g x x x =+-,tan 14π=,故即24f g π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

8.答案:3. 解析:111'|23x x y x ==⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 9.答案:ln 3. 解析:311ln 3ln1ln 3S dx x==-=⎰。

10.答案:2222arctan(2)14x dz x y dx dy y=++ 解析: 2222222arctan(2),1414z z x x y x x y y y ∂∂===∂∂++,故 2222arctan(2)14x dz x y dx dy y=++. 三、解答题(本大题共7小题,每小题6分,共42分) 11.解:通分利用已知结论,得2222111(1)1lim lim lim 1322(1)(2)1x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===- ⎪-+----⎝⎭12.解:2203200sin sin 1limlim 33xx x t dt x x x →→==⎰ 13.解:函数在0x =处连续,故(00)(00)(0)1f f f +=-==, 而 200(00)lim ()lim()x x f f x x b b →+→++==-=-00(00)lim ()lim()x x x f f x ae b a b→-→--==+=+故1,2b a =-=。

14.解:1ln 1ln ln ln ln x xdx dx dx x xd x x x x +=+=+⎰⎰⎰⎰21ln (ln )2x x C=++15.解:22222(1)cos cos cos sin sin |x xdx x xdx xdx xd x x πππππ-=-=-⎰⎰⎰⎰222000sin |sin 1cos |1222x x xdx x πππππ=--=+-=-⎰16. 解:令()1,()1xP x Q x e ==+,利用常数变异公式得()()()(1)P x dx P x dx dx dxx y e Q x e dx C e e e dx C --⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰=+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰(1)(1)xx x x x x ee e dx C e e de C --⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 1x x x x e e de de C -⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰212x x x e e e C -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦。

17.解:sin sin 'sin cos 'x x z y y y y y x x x x x x x ∂⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭sin cos y y y x x x=-;2sin ''cos cos 'y y y z y y yy y x y x x x x x ⎡⎤∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2211cos cos sin sin y y y y y yx x x x x x x x=-+= 18.解:积分区域如图所示Dxydxdy ⎰⎰153601xx x xdx xydy dx xydy-+=+⎰⎰⎰⎰13320112(186)23x dx x x dx =+-=⎰⎰四、应用题(本大题共7分)19.解:收益函数为:2()(453)453R P QP P P P P ==-=-,总成本函数为:()203203(453)1559C Q Q P P =+=+-=- 故利润函数为:()()()L P R P C P =-22453(1559)354155P P P P P =---=-+-令'()65409L P P P =-+=⇒=,由实际情况知,当9P =时利润最大,最大利润是(9)88L =(万元)。

五、证明题(本大题共7分14分)20.证明:令函数2()()F x x f x =,则()F x 在[]1,2上连续,(1,2)上可导,且(1)(1)F f =,(2)4(2)(1)(1)F f f F ===,由罗尔定理可知,(1,2)ξ∃∈,使得'()0F ξ=,即22()'()0f f ξξξξ+=, 从而2()'()0f f ξξξ+=。

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