2.1.1 合情推理—归纳推理教案（1）
学习目标
1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

学习重点、难点
教学重点了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点用归纳进行推理，做出猜想。

学习过程
一、课堂引入
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理
二、问题情境
案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

案例2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180
n-⨯︒
案例3、221222221
,,,
331332333
+++
<<<
+++
，由此我们猜想：
a a m
b b m
+
<
+
（,,
a b m均
为正实数）
二、学生活动
案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

由此猜想：
案例2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180
n-⨯︒
由此猜想：
案例3、221222221
,,,
331332333
+++
<<<
+++
，由此我们猜想：
a a m
b b m
+
<
+
（,,
a b m均
为正由此猜想：
三、建构数学
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理。

(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：
⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
⑵提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶检验猜想。

S1具有P，
S2具有P，
……
Sn具有P，(S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）
所以A类事物具有P。

练习1、下列推理是归纳推理吗？为什么?
金受热后体积膨胀，
银受热后体积膨胀，
铜受热后体积膨胀，
铁受热后体积膨胀，
金、银、铜、铁都是金属。

所以，所有的金属受热后都体积膨胀。

练习2、当n=0时，n2-n+11=11；
当n=1时，n2-n+11=11；
当n=2时，n2-n+11=13；
当n=3时，n2-n+11=17；
当n=4时，n2-n+11=23；
当n=5时，n2-n+11=31；
11,11,13,17,23,31都是质数。

所以，对于所有的自然数n ，n 2-n+11的值都是质数. 3、所有的金属都能导电，铁是金属，所以，铁能导电。

4、长方形的对角线的平方等于长与 宽的平方和。

所以，长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和。

四、数学运用
1．例题：
例1：观察下图,可以发现 1=12， 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
你能否从中归纳出一般性法则?
例2．已知数列｛n a ｝的第一项1a =1，且 11n
n n
a a a +=+ (n ＝1，2，3，···)，则这个数列的通项公式为____.
例3．数一数图中的凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E,然后探求面数F 、顶点数V
和棱数E之间的关系。

凸多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
五、案例赏析，文化熏陶（皇冠明珠：歌德巴赫猜想（P28阅读））
哥德巴赫猜想：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（简称“1+1”）
在陈景润之前，关于偶数可表示为s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称“s + t ”问题)之进展情况如下:
1920年，挪威的布朗(Brun)证明了“9 + 9 ”。

1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。

1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了“6 + 6 ”。

1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。

1938年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。

1940年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“4 + 4 ”。

1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c 是一很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。

1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”，中国的王元证明了“1 + 4 ”。

1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。

1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。

1950年，有人从22国推进到35国。

1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。

看来这种推进仍然十分缓慢。

电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。

1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。

四色猜想的计算机证明，轰动了世界。

它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。

不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。

六．课堂练习：
1(a,b a __b __
===⋅⋅⋅===练习均为实数），请推测
练习2：（梵塔传说）传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环。

古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则，把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用。

1．每次只能移动1个圆环；
2．较大的圆环不能放在较小的圆环上面。

如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了。

请你试着推测：把n个圆环从1号针移到3号针，最少需要移动多少次?
七、回顾小结
1、推理、归纳推理的定义；
2、归纳推理的特点、作用；
八、课外作业
1．课本P29练习 2 ，4，５；
2．找一个你感兴趣的数学定义、公式或定理，探究它的来源，你也可以通过翻阅书籍、上网查找资料来寻求依据。