高中数学-平面向量及常见题型向量知识点☆零向量：长度为o 的向量，记为0 ,其方向是任意的， 0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量a 0为单位向量I a 0 I = 1☆平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 平行向量也称为共线向量uuu uuu uuu☆向量加法AB BC = AC 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： uuu LUUTuuur uuu uuu uuuAB BC CD L PQQR AR ，但这时必须“首尾相连”.☆实数与向量的积:①实数入与向量a 的积是一个向量，记作入a ，它的长度与方向规定如下： （】）a a ；（n ）当 0时，入a 的方向与a 的方向相同；当 0时，入a 的方向与a 的方向相反；当 0时，a 0， 方向是任意的 ☆两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数，使得b = a☆平面向量的基本定理：如果e i ,e 2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数i ,2使:ai02e 2，其中不共线的向量 e n e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：uun⑵若 A X i , 2i , B X 2, 22，则 AB X 2 X i ,y 2 y⑶若 a =（x,y ），贝u a =（x, y)☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质ra若r by2r bra则y2Xy2 %X2X r brax i y 2 X 2 y irX>, y 2，则 a//br by1ra 若o2 y卷^1Xra则y2X2,r by2ra若5)☆两个向量的数量积:a ?b _ x 1x 2 y 1y 2a l ?b腐—y7 抚2r r ra 与b 同方向时，e =00，当且仅当a 与b 反方向时e =1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充： 线段的定比分点设P 1 x 1 , y 1 , P 2 x 2, y 2，分点P x , y ，设R 、P 2是直线I 上两点，P 点在I 上且不同于R 、 P 2，右存在一头数 ， 使RPPF 2，则叫做P 分有向线段RP 2所成的比（0, P 在线段P 1P 2内，0 , P 在 RP 2 外) ，且X iX 2XX 1 X 2X21 ,P 为RP 2中点时，y i yy 1 y 2 y1y 2如：ABC , A X i , y i , B X 2, y 2 , C X 3, y 3已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为 I cos叫做a 与b 的数量积（或内积）规定0 a 0☆向量的投影：丨b☆数量积的几何意义： R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系:2|a|☆乘法公式成立:r 2ar r 2r 2 r r a b a 2a br 2r rr a 2a bb☆向量的夹角：已知两个非零向量um r ,作 O A = a , uuu rOB = b ,则/ AOB =(o 01800）叫做向量a 与b 的夹角cos = COS当且仅当两个非零向量 II I 2a aa ra1 2 , 2a b 2 b 2贝y ABC 重心G 的坐标是 勺一仝一乞,X —竺一y 33 3经典例题---- ----------- -------------!H* .^i例1 •已知：是 J 一'一所在平面内一点， 匸为占二边中点， 且-i ■ - - U ,那么（ ）命题意图：本题考查能够结合图形进行向量计算的能力 解.2OA¥OB^OC^2刃+ 蠢+更）亠（而+55）二6両二-药.2OA + 2OD = 0,.: AO = OD 故选 A例2•在平行四边形中，AB^a,AD^h,AN^3NC , M 为BC 的中点，则曲7 = __________________________________ .（用広石表 示）命题意图：本题主要考查向量的加法和减法 ，以及实数与向量的积湎劲一（舌十丄£）二一1$+】百4'、2 '4 4例3.如图所示，D 是厶ABC 的边AB 上的中点，则向量 J 」（）命题意图：本题主要考查向量的加法和减法运算能力A . AQ= 0DE. A0=2OD c. A0 = 30DD . 2AO=OD由」*亠厂得1 「一「厂'—~ - 1 —AM = a +—b2五-丄扇(B )(C )旋+2竝（D ） 二点评：巧妙解法巧在取'i -，使问题简单化.本题也可通过画图，利用数形结合的方法来解决可二尋+药二-丽+丄芮解： - ，故选A.例4.设平面向量 I 、J 、工的和■-1\ 】—.如果向量一丄、〔、I ,满足且，顺时针旋转」「后与-同向，其中二，则（ ）命题意图：本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念^—-IMb-fc*-~~常规解法：•.•二 V 二—，.....「.「匚| . - I 故把2七（i=i,2,3），分别按顺时针旋转 30后与S 重合，故'，；| '- ”，应选 D.巧妙解法：令'-~，则r --【，由题意知〔—■ -■，从而排除B ，C,同理排除A ，故选D.S +扱+鸟二o(A )12例5 .设向量 的夹角为且'， ，命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积解:设心（“），由肚一归2（初）73,加0-3很厂习珂71）得 L "-Xi二+巧O一工』y-y^二1叼«_工訂所以过抛物线上 A 、B 两点的切线方程分别是 -，-,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问3xH-3x23历字十头沖十2丁，故填丄例6•已知抛物线'一「的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 丄」 •「二 ),a A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I ）证明丄〜为定值;"）设厶ABM 的面积为S ,写岀’ 「-的表达式，并求 S 的最小值.命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、 和圆锥曲线方程，以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.解:（I ）由已知条件，得 --，■■- ■ - '■设川心”），巩孔莎），则才=^71由-丄，得（一心1一”）“（也心一1）即［1-乃i 仇一 1）⑵ 将（1）式两边平方并把'，V代入得I 二(3)解（2）（ 3）式得一_ 1乃二了，且有監內二_鬼宀山二-4，抛物线方程为，求导得/=rCQ S1 1 3 1 1 y= — x.x-—Xi y ————JT即.严+吃心E）（厲+呵_［）解岀两条切线的交点M的坐标为丄- 即二所以X」二；“」1 所以一‘亠-二为定值，其值为0.刖门M（宁.一1）（n ）由（I ）知在△ ABM中，FM! AB,-S = -\A£\\FM\ 因而 -I MF|= J（互尹尸+（_刁；「拧+斗+号+仁J兀乜十#+4因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y = - 1的距离，| 朋冃HF |4| 5F|= ^+7^+2=兄 +丄+2 = +所以一一二E胡血T|M|二十韦卡于是JI十令王2由' 知S>4,且当入=1时，S取得最小值4.向量常见题型类型(一)：向量的夹角问题1. 平面向量a,b，满足a 1,b 4且满足a.b 2，则a与b的夹角为 ______________2. 已知非零向量a, b满足a b ,b (b 2a)，则a与b的夹角为 ________3. 已知平面向量a,b满足(a b).(2a b) 4且a 2，b| 4且，贝U a与b的夹角为______________4. 设非零向量a、b、c满足|a||b| |c|,a b c,则a,b _________________5. 已知a 2,|b 3, a b J7,求a与b的夹角。

类型(二)：向量共线问题1.已知平面向量a (2,3x)，平面向量b ( 2, 18)，若a // b，则实数x ________________2.设向量a(2,1),b(2,3)若向量 a b与向量c (4, 7)共线，则3.已知向量a(1,D,b(2, x)若a b与4b 2a平行，则实数x的值是( )A. -2B.0 C . 1 D . 24已知向量OA (k,12),0B (4,5),OC ( k,10)，且A，B，C三点共线，则k ______■—►■—b ■—I- —b- —¥5 •已知a= (1 , 2), b= (-3 , 2 )若k a+2 b与2 a-4 b共线，求实数k的值；6 .已知a, c是同一平面内的两个向量，其中 a = (1, 2)若c 2丁5，且a // c，求c的坐标类型(三)：向量的垂直问题1 •已知向量a (x,1),b (3,6)且a b，则实数x的值为__________2 •已知a= (1 , 2), b= (-3 , 2 )若k a+2 b与2 a-4 b垂直，求实数k的值■—■3 •已知a (4,2),求与a垂直的单位向量的坐标。

4. 已知向量a ( 3,2),b ( 1,0)且向量a b与a 2b垂直，则实数的值为_________________5. a (3,1),b (1,3),c (k,2),若(a c b,则k _____6. a (1,2),b (2, 3),若向量c满足于(c a) / b, c (a b),则c ____________ 类型(四)投影问题c :③a.（b c ） 0 ④b 在a 方向上的投影等于 c 在a类型（五）求向量的模的问题4, a 与b 的夹角，则向量b 在向量a 上的投影为 _________2 .在 Rt △ ABC 中，C , AC 24,则 AB.AC _____3 .关于a.b a.c 且a有下列几种说法:方向上的投影：⑤b a :⑥b c 其中正确的个数是 （）(A ) 4 个 (B ) 3 个(C ) 2 个(D )11 •若a ：=(1, 1),b =( 1 , -1— ),c = (-1 ,-2 ），则c 等于 （）1 3，-1 _(A) a b (B) a b2 22 23 - 1 - 3 - 1 /(C) a b (D) a b2 22 22.已知a(1,0),b (1,1) ,c (1,0),求和的值，使c a类型（六）平面向量基本定理的应用问题 是平面向量的一组基底, 时,则当12(A)e 1 （0,0）e(1, 2)(B)8 (1,2)， f(C) e(3,5), 02(6,10)(D)e1(2, 3)，—b-5. a (1,1),b ( 1,1),c (42) ，则 c () —Fb(B)3a b(C)—F —*a 3b i 4.下列各组向量中，可以作为基底的是（ )(D) e2e 2(5,7)a 3b①a （b c ）；②1. 已知零向量a（2,1）, a.b 10, a b52,2. 已知向量 a,b 满足同1,b 2, a b2,则a3.已知向量 a (1, 3) , b(2,0),则4 •已知向量a (1,sin ),b(1,cos ),则 a 的最大值为 6.设向量a , b 满足alb1 及 4a 3b求3a 5b|的值类型(七)平面向量与三角函数结合题ir x x r x —IT r1.已知向量m (2sin ,cos_), n (cos-, 3)，设函数f(x) m n4 2 4⑴求函数f(x)的解析式(2 )求f (x)的最小正周期;(3 )若0 x ，求f (x)的最大值和最小值.2. 已知ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c,平面向量m (1,sin(B A))，平面向量n (s inC si n(2A),1).(l)如果c 2,C ,且ABC的面积S 3,求a的值；3(II )若m n,请判断ABC的形状.23. 已知向量a (2,sin x), b (sin x,2cosx),函数f(x) a b(1)求f (x)的周期和单调增区间；⑵若在ABC中，角代B,C所对的边分别是a,b,c, C，2a c)cosB bcosC，求f (A)的取值范围。