§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性2. 相抵标准形的唯一性3. 矩阵秩的性质4. 满秩矩阵的性质一、矩阵的秩定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。
定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩2 1 03 123 1 2 1 01A4 1 6 3 582 2 2 6 162 1 03 1 23 1 2 1 0 1A4 1 6 35 82 2 2 6 1 6R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 10 3 6 9 3 40 1 2 3 2 81 2 2 2 1 1R2 R1 2 1 0 3 1 20 3 6 9 3 40 1 2 3 2 81 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 40 3 6 9 3 40 1 2 3 2 81 2 2 2 1 1R2 R4 0 1 2 3 2 80 3 6 9 3 40 5 4 7 3 4所以秩(A) = 4 o |性质(1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n}(3)初等行变换不改变矩阵的秩。
定义设A 是n 阶方阵。
若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。
定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。
R 4 ( 5)R 2R3 3R 21 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 200 0 6 8 13 4401 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 320R3、 矩 阵的初等变换 矩阵初等行变换的推广： ( 1)用一个非零数乘某一列的全部元素 (2) 一列的倍数加到另一列上(3) 互换两列的位置 称上述对矩阵列的处理为 矩阵的初等列变换定义 设 A 和 B 是两个同类型矩阵。
若 A 可通 过有限次初等变换化为 B ,则称A 相抵于B ,记为 A B 。
性质 矩阵的相抵满足：(1) 自反性： A A (2) 对称性： A B B A(3) 传递性： A B, B C A C矩阵相抵是同型矩阵之间的一个等价关系矩阵的初等变换矩阵的初等行变换定理设A是mx n 矩阵，且秩（A）= r，贝9 相抵于下述矩阵10 0 001 0 0 r行00 1 000 0 000 0 0m n称之为A 的相抵标准型例用初等变换化下述矩阵为相抵标准型1 12 12 1 2 4A=1 2 0 34 1 6 2解112 1R4 ( 4)R11 12 1 R3 ( 1)R12A= 1 2 4 R2 ( 2)R1 0 3 2 21 2 0 3 0 3 2 24 1 6 2 0 3 2 21 12 1R3 ( 1)R2R4 ( 1)R2 0 3 2 20 0 0 00 0 0 41 12 1R4 R30 3 2 20 0 0 40 0 0 0（护 1 1 2 12 2(；)R4 0 14 3 30 0 0 10 0 0 0R2 3R3R1 ( 1)R2 1 00 10 00 043231C3 ( 3)C24C3 ( 3)C110 0 00 10 00 0 0 10 0 0 0R i ( 1)R3分别计算P i 、P 2、P 3与A 的乘积 解1 0 0a 1 a 2 a 3 a1a2a3P 1A 02 0 b 1b 2b 3= 2b 12b 2 2b 30 0 1c1 c2 c3 c1 c2c3C3C41000 0100 0010 0000三、 初等矩阵例 已知矩阵a1A= b 1 c1 构造三个矩阵1 0 01 P 1 0 20 , P 20 0 0 1a2 a 3b 2 b 3c 2 c 30 0 0 1 0 1 0 , P 3 1 0 0 2 1 0 0 110 0 a1 a2 a3 P 2A 01b1b2b32 1c1 c2c3a1a 2a3 b 1b2b3c12b 1c 2 2b2c3 2b 30 1 0 a 1 a 2 a 30 0 1 c 1 c 2 c 3a1 a2 a3 1 0 0a1 2a2 a3 AP 1b 1b2b 3 0 2 0=b12b 2 b3c1 c2 c3 0 0 1c12c 2c3a 1 a 2 a 3 1 0AP 2b 1b 2b 3 0 1c1 c2 c3 02 1a1 a2 2a3 a 3b1b 22b 3 b 3c1 c22c 3c3P 3A 1 0 0 b1 b2 b 3b 1 b 2 b 3c1 c2 c 3Ia 1 a 2 a 3 0 1 0 a 2 a 1 a 3 AP 3b 1 b 2 b 3 1 0 0 = b 2 b 1 b 3c 1 c 2 c 3 0 0 1 c 2 c 1 c 3定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩 阵称为 初等矩阵 。
1I cRiE i (c)c1111c1R j cR iE ij (c)01R i R j EE ij101定理对m x n矩阵A作一次初等行变换，等同于在A 的左边乘上一个对应的作一次初等列变换，等同于在应的n 阶初等矩阵。
例已知矩阵m 阶初等矩阵；对A A 的右边乘上一个对a1 b1 c 1 b1 3c1a2 b2 c2 a2 b2 3c2c1 b1 a1 a1 2b1 b1 c1 c2 b2 a2 a2 2b2 b2 c2问A 与B、C、D 之间有何联系？解因为3C3 B，与之相对应，I33C3 E3(3)，3AE 3 (3) B同理可得AE12 C。
因为R1 ( 2)R2 D，R1 I3 2)R2E12( 2) ，1AE12( 2)例已知矩阵a1 a2 a3b1 b2 b3A b1 b2 b3 ,B a1 a2 a3c1 c2 c3c1 2a1 c2 2a2 c3 2a30 1 0 100P 1 0 0 ，Q 0 1 00 0 1 021问P 与Q 如何与A 相乘可得到B ？解因为对A 作两次初等行变换可得B ，而P 与Q 均为初等矩阵，所以应有PQA=B 或QPA=B。
A a1b1c1a2b2c2a3b3c3R1b1R2 a a1c1b2a2c2b3a3c3 b1 b2 b3R3 2R2a1 a2 a3 Bc1 2a1 c2 2a2 c3 2a3又R1 R2对应P, R3 2R2对应QQPA Q(PA) B |性质(1)初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也是满秩方阵；(2 )对任一初等矩阵P,均存在初等矩阵Q,使PQ = QP = I 。
定理满秩方阵可表示成若干初等矩阵的乘积。
推论满秩方阵的乘积也是满秩方阵。
定理设A与B是两个m x n矩阵，则A相抵于B 的充分必要条件是：存在m 阶满秩矩阵P 与n 阶满秩矩阵Q,使PAQ = B。
定理同型矩阵A 与B 相抵的充分必要条件是秩(A)=秩(B)。
推论矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩。
定理(1 )秩(A)=秩(A T)( 2)设A 是m x n 矩阵, P 是m 阶满秩方阵, Q 是n 阶满秩方阵,则秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ) 例设A是4 X 5矩阵且秩(A) =3,12342340B=34004000求秩(BA)。
例对任一满秩方阵P，均存在同阶的满秩方阵Q, 使PQ = QP = I。
证因为P 满秩，故存在初等矩阵P1,P2, ,P s 使P P1P2 P s 。
已知对初等矩阵P i ，存在初等矩阵Q i，满足P i Q i Q i P i I , i 1,2, , S。
于是，令Q Q S Q S1 Q2Q I，贝9 Q 满秩且PQ = QP = I o |1.4 可逆矩阵定义设A是n阶方阵。
若存在n阶方阵B,使AB = BA = I贝称A 是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵。
例讨论n 阶零方阵0 与n 阶单位矩阵I 的可逆例 初等矩阵都是可逆矩阵， 且它们的逆矩阵也 是初等矩阵例设方阵A 满足A 23A 10I0，证明A,A 3I 都可逆。
证由已知得A(A 3I )101 且(A 3I )A 101，于是有1 口 1 (―A)(A 3I ) I 且 (A 31)(—A) I 10 101 口 1 A[—(A 3I )] I 且[―(A 3I )]A I 10 10 由⑴得A 3I 可逆，且(A 3I)110A ； 由⑵得A 可逆，且A 1盒(A 3I) ol定理 设A 是方阵，则A 是可逆矩阵的充分必 要条件是A 满秩。
(1)⑵a bA= c d则当ad be时，A可逆，并且d bA 1 1ad be e a。