复旦大学数学科学学院 2016～2017 学年第一学期期末考试试卷
A卷
（装订线内不要答题）
1. (本题满分 42 分, 每小题 6 分) 计算下列各题:
(1) 设函数
由参数方程
,
和.
给出, 求
(2) 请确定常数 , 使得 导.
在
点可
1
(3) 计算积分
(4) 计算由
(
) 绕 轴一周所得的旋转体的体积.
kπ
1
π
0
π2(2k + 1)
= (kπ + x)(1 + cos(2x)) dx =
,
20
4
nπ
x sin2
x dx
=
n−1
π2(2k
+
1)
=
π2n2 .
0
4
4
k=0
π
π
(2) S0 = | sin t|p dt, S1 = t| sin t|p dt,
k,
0
0
(k+1)π
π
x| sin x|p dx = (kπ + x)| sin x|p dx = kπS0 + S1,
f x1
.
√ 3− 5 x1 = ln 2 ,
, x2
(2) lim (f (x) − x) = −1, lim (f (x) − x) = 0
x→−∞
x→+∞
y = x − 1, y = x.
x = 0.
f (x)
4. (1)
Rolle , f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 0
n2π2
n2π2
x
lim 0 t| sin t| dt = S0
x→+∞
x2
2π
.
3
ξ1 ∈ (1, 2), ξ2 ∈ (2, 3), ξ3 ∈ (3, 4),
f (ξi) = 0 (i = 1, 2, 3);
η1 ∈ (ξ1, ξ2), η2 ∈ (ξ2, ξ3),
f (ηi) = 0 (i = 1, 2);
ζ ∈ (η1, η2)
f (ζ) = 0.
(2)
j
(x − j) (j = 1, 2, 3, 4),
x arctan x
1√+ sin2√t dt =
√ 1 − x2
+
1 2 − cos2 t d(cos t)
x arctan x 1
2 + 1 − x2
=√
+ √ ln √ √
+ C.
1 − x2 2 2 2 − 1 − x2
6. (1)
k,
(k+1)π
π
x sin2 x dx = (kπ + x) sin2 x dx
5. (1)
dx (1 − x2)3/2
x==sin t
1
x
cos2 t
dt
=
tan t
+
C
=
√ 1 − x2
+
C
(2)
arctan x
x
1
x
dx = arctan x √
−
√
dx
(1 − x2)3/2
1 − x2
1 + x2 1 − x2
x==sin t x√arctan x − 1 − x2
sin t
(5) 设过原点的直线同曲线
相切, 求此直线的斜率。
2
(6) 设
,求 .
(7) 设
, 问 在什么范围内时积分
收
敛.
3
2. (本题满分 10 分) 证明当
时
.
3. (本题满分 12 分) (1) 求函数 出是极大值点还是极小值点); (2) 求曲线
的极值点(需指 的渐近线.
4
4. (本题满分 12 分) 设
C.
C
x2 + 4x + 42
C A
x3 + 4x2 + 42x + 43
(−x)
,
(−x)
,
1
(−x)
,
11 1 1
f (x)
=
(x
−
1)(x − 2)(x
−
3)(x
−
4)
1
2
3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
1 22 33 42 .
1 23 33 43
= 12(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
kπ
0
2
x = (n + α)π (0 ≤ α < 1),
1
n(n 2
−
1)πS0
+
nS1
=
nπ
t| sin t|p dt
0
≤
x
t| sin t|p dt
0
(n + 1)2π2
(n + 1)2π2
x2
≤
(n+1)π
t| sin t|p dt
0
=
1 2 n(n + 1)πS0 + (n + 1)S1 ,
dx et + 1 dx2 (et + 1)3
42
π2 (4)
(5)
3
√ 32
(6)
1 0
−1 0
4 1 (7) p < 4
2
2
−1 2 −7
2. f (x) = x arctan x − ln(1 + x2),
2x2
f (x) =
.
(1 + x2)2
f (0) = 0 x > 0
x f (x) = arctan x − 1 + x2 ,
f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)·
0
1
1
B
x+1
B
B @
x2 + x + 1
x3 + x2 + x + 1
x+2 x2 + 2x + 22 x3 + 2x2 + 22x + 23
1 x+3 x2 + 3x + 32 x3 + 3x2 + 32x + 33
1
1
x+4
.
(1) 证明存在 使得
; (2) 计算
5. (本题满分 12 分) (1) 计算
;
(2) 计算
.
5
6. (本题满分 12 分) (1) 设 是正整数, 计算
;
(2) 证明对任何正实数 , 函数极限
存
在.
6
C
(2016-2017
A)
dy
et d2y
1
π1
1. (1) =
,=
(2) a = 1, b = −1 (3) + ln 2
f (x) > 0
x>0
f (x) > 0,
f (0) = 0
x > 0 f (x) > 0.
e2x − 3ex + 1
ex(ex + 1)
3. (1) f (x) = √
(ex − 1)2 , f (x) = (ex − 1)3 .
3+ 5 x2 = ln 2 .
f (x1) < 0, f (x2) > 0