第4讲巧解盈亏应用题方法和技巧分配某种物品，分配者一定，被分配的物品数一定，两种分配方案的结果会出现“盈”（余）或“亏”（不足），求分配者数和被分配物品数，这类问题叫盈亏问题。

常用方法：总差额÷每人（或每件的差额）＝人数（或件数）A级基础点睛【例1】小波从家去体育馆参加比赛，先以50米每分钟的速度走了4分钟后，发现这样走下去要迟到3分钟；后来他改用65米每分钟的速度前进，结果提前3分钟到达。

问：小波家和体育馆相距多少米？分析与解由每分钟走50米要迟到3分钟，可知体育馆进行比赛时，小波离体育馆有50×3＝150（米）；由每分钟走65米早到3分钟，可知体育馆进行比赛时，他还可以走65×3＝195（米）。

每分钟50米少150米？分钟每分钟每分钟65米多195米比较两种方案，每分钟相差65－50＝15（米），结果相差150＋195＝345（米）。

时间为345÷15＝23（分），即出发4分钟后距离准时比赛时间。

按第一种方案一共药性4＋23＋3＝30（分）才能到达体育馆，小波家与体育馆相距50×（345÷15﹢7）＝50×﹙23﹢7﹚＝1500米答：小波家和体育馆相距1500米。

做一做1 动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。

问：猴山有猴多少只？共买来多少个桃？分析与解根据观察对应数量关系的变化寻找答案的解题思路，首先需要把条件“如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完”转化成：如果每只猴都分8个就少（8－4）×10＝40个，然后按盈亏问题来求解。

每只猴都分8个，所缺桃子数为﹙8－4﹚×10＝40﹙个﹚猴子总数为﹙40＋32﹚÷﹙8－5﹚＝24（只）猴子总数为5×24＋32＝152﹙个）答：猴山有猴24只，共买来152个桃。

做一做2 农民种树，其中有3人分得树苗各4棵，其余每人分得3棵，这样最后余下树苗11棵，如果1人先得3棵，其余的每人分得5棵，则树苗恰好分尽。

求人数和树苗的总数各是多少？B级更上层楼【例3】某中学买了一批英文打字机，分给高中三年级各班。

其中两个班各分6台，其余各班分3台，则多6台；如果有一个班分7台，其余各班分5台，则还差12台。

问：学校买来了多少台打字机分给多少个高中三年级的班？分析与解这时非平均分配的盈亏问题，可先化成平均分配的盈亏问题。

如果每个班分3台，则多余6＋2×﹙6－3﹚＝12（台）；如果每个班分5台，则不足12－﹙7－5﹚＝10（台）。

这样问题转化成平均分配的基本盈亏问题。

[6＋2×﹙6－3﹚＋12－﹙7－5﹚]÷﹙5－3﹚＝11（个）5×11－10＝45（台）答：学校购进英文打字机45台，分给高三年纪的11个班。

小结这类非平均分配的盈亏问题要先化成屁分配的基本盈亏问题后，再求解。

做一做3 农民锄草，其中5人每人锄4公顷，余下的人每人锄3公顷，这样分配最后还余下26公顷无人锄；如果其中3人每人锄3公顷，余下的人每人锄5公顷，最后还余下3公顷。

求锄地面积和人数各是多少？【例4】聪聪用10元钱买了3支圆珠笔和7个练习本，剩下的钱若买一支圆珠笔就少0.14元，若买一个练习本还多0.8元。

问：一支圆珠笔的售价为多少元？分析与解从“买圆珠笔少0.14元，买练习本多0.8元”知道，一支圆珠笔比一个练习本贵0.94元。

如果聪聪花10－0.8=9.2（元），就可以买3支圆珠笔和7+1=8（个）练习本。

每个练习本的价格是（10－0.8－0.94×3）÷(3+8)=0.58(元)圆珠笔的单价是0.58+0.94=1.52(元)答：一支圆珠笔的售价为1.52元。

做一做4 小明用2元钱买了5支铅笔和8块橡皮，余下的钱买一支铅笔就缺4分，买一块橡皮就多出2分。

问：每支铅笔的价格是多少？【例5】箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2个。

每次从箱子里取出7个白球和15个红球，经过若干次后，箱子里还剩下3个白球和53个红球。

问：箱子里原有的红球比白球多多少个？分析与解因为红球数是白球数的3倍多2个，每次取15个，最后剩53个，所以，假设将白球数扩大3倍，按红球取法每次取15个，最后应剩51个白球。

白球每次取7个，最后剩3个，所以假设将白球数扩大3倍，每次取7×3=21(个)，最后应剩3×3=9(个)。

每次多拿21－15=6(个)，共多拿走51－9=42(个)，因此共取(51－9)÷(21－15)=7(次)，则红球有15×7+53=158(个)白球有7×7+3=52(个)红球比白球多158－52=106(个)答：原有的红球比白球多106个。

做一做5 苹果和梨各有若干个，如果5个苹果和3个梨装一袋，则还多4个苹果，梨恰好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，则苹果恰好装完，梨还多12个。

问：苹果和梨各有多少个？【例6】同学们植树，若有6人每人植5棵，其余的人每人植8棵，则还有一棵树没有人植；若有5人每人植7棵，其余的人每人植4棵，则刚好植完。

问：有多少棵树？解“若有6人每人植5棵，其余的人每人植8棵”，把它改为每人都植8棵，即以“其余的人”作为标准，则变成“每人植8棵，就还差6×(8－5)－1=17(棵)”。

“若有5人每人植7棵，其余的人每植4棵，则刚好植完”，把它改为每人植4棵，也以“其余的人”为标准，那么变成“每人植4棵，则还剩(7－4)×5=15(棵)没人植”。

这样转化成标准的盈亏问题后，就可以求出植树的人数：(17+15)÷(8－4)=8(人)植树的棵数为：6×5+8×2+1=47(棵)答：有47棵树。

做一做6 小明与小红各买了一本数学竞赛习题集，约定在相同的时间内做完。

小明计划头两周每周做30道习题，以后每周25道；小红计划头两周每周做35道，以后每周做30道，剩余2周留下复习。

问：这本习题集共有多少道习题？他们准备用几周做完？C级勇夺冠军【例7】某幼儿园的小班人数最少，中班27人，大班比小班多6人。

六一儿童节分糖果25包，每包不超过60块，不少50块，糖果总数个位数字是7，如果每人分19块，那么糖果数不够。

现在大班比中班每人多分1块，中班比小班每人多分1块，刚好分完。

问：这批糖果共多少块？解据题设1 250=50×25≤糖果总数≤60×25=1 500。

因小班人数最少，中班有27人，所以总人数不超过27×3+6=87(人)。

因(1 250－6)÷87＞14，所以每人至少分得15块，又因每人19块分不够，所以每人至多分18块。

注意到总数个位数是7，而7－6=1是奇数，所以只能是17块或15块。

但15的倍数的个位数应是0或5，不是1，所以只能每人分17块。

再估计总数：17×74=1 258＞1 250－6，它的个位数不是1，现在用1 258适当加上17的倍数，使个位数为1，且≤1 500，经验算，只有1 258+17×9=1 411，因此糖果总数是1 411+6=1 417(块)。

做一做7 甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书。

已知甲班有1有人捐6册，有2人各捐7册其余人各捐11册；乙班有1人捐6册；3人各捐8册，其余人各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余人各捐9册。

已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册。

各班捐书总数在400~550之间。

问：每班名有多少人？巧练习——温故知新（四）A级基础点睛1．小羽从家去学校，若每分钟走80米，则能在上课前6分钟到校；若每分钟走50米，就要迟到3分钟。

问：小羽的家到学校的路有多远？2．货运列车运载粮食，若每节车皮装90吨，则还余60吨运不走；若每节车皮装110吨，则可空下两节车皮。

问：有多少节车皮？待运的粮食有多少吨？3．一支部队有若干个连队，如果再调进一个连队，则现存的粮食可吃6天；如果调出一个连队，则现存的粮食可吃10天。

假设每个连队每天吃的粮食一样多，那么这支部队有多少个连队？若现存的粮食只给一个连队吃，问：可吃多少天？4．一群小猪分吃饲料，若每头吃8千克，则还缺432千克；若每头改吃6千克，则仍缺234千克。

问：有多少头小猪？有多少千克饲料？B级更上层楼6．有一些苹果和梨，苹果的数量是梨的4倍少2个。

如果每次吃掉5个苹果和2个梨，那么当梨吃完时还剩下40个苹果。

问：原有多少个苹果？7．用一根绳子测井台离水面的高度。

把绳子对折后垂到井台水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井台水面，绳子超过井台2米。

求绳长和井台离水面的高度。

8．小明花19元买了10本练习本和10支铅笔。

他还有余钱，如果要再买1支铅笔，就多0.30元；如果要再买一本练习本，就少0.20元。

问：小明原有多少钱？9．有若干盒卡片，每盒中的卡片数一样多。

把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人分8张还缺少5张。

现在把所有卡片都分完，每人都分到60张，而且还多出4张。

问：有多少位小朋友？10．有两筐苹果，如果从第一筐拿出9个放到第二筐里，则两筐的苹果数就一样多；如果从第二筐拿出12个放到第一筐里，则第一筐苹果数是第二筐的2倍。

求每筐原来各有多少个苹果。

11．王彩带钱若干，到上海路菜场去买鱼，若买鲤鱼30条，差4元；若买鲢鱼40条，则多20元。

两种鱼每条的价格相差2元1角，问：两种鱼的单价是多少元？12．五年级有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多4名女生，乙班比丙班多1名女生，如果将甲班的第一组同学调入乙班，同时将乙班的第一组同学调入丙班，将丙班的第一组同学调入甲班，则三个班的女生人数恰好相同。

已知丙班第一组有2名女生，那么甲班第一组有多少名女生？13．2 001个球平均分给若干个人，恰好分完。

若有一人不参加分球，则每人可以多分2个球，而且球还有剩余；若每人多分3个球，则球的个数不够。

问：原来每人平均分多少个球？14．妈妈给红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡，甲种卡每张0.50元，丙种卡每张1.20元。

用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张。

妈妈给了红红多少钱？乙种卡每张多少钱？巧总结本节我的收获是：不足之处有：神奇的省刻度尺小朋友，我们都知道生活中省电、省气、省油的一些方法，那么天平和刻度尺怎么省呢？“省刻度尺”在《图论》中又称Golomb尺，它已在X射线、晶体学、雷达脉冲、导弹控制、通信网络、射电天文学等领域派上用场。

早在二百多年前，数学大师欧拉就曾研究过天平砝码的最佳（省）设置问题，他给出了下面的结论：若只允许砝码放在天平的一端，则有20（1），21，22，…，2r 克重砝码，可以称出1~2k+1－1之间任何整数克重的物品；若允许砝码放在天平的两端，则有30（1），31，32，…，3r 克重砝码，可以称出1~ 2131-+k 之间任何整数克重的物品。