2015-2016第一学期利息理论复习题 1、已知a n =10和a 3n =24.40，求a 4n 。

∵ a n =[v(1-v n )]/(1-v)=10a 3n =[v(1-v 3n )]/(1-v)=24.4∴ a 3n /an=24.4/10=(1-v 3n )/ (1-v n )=v 2n +v n +1=2.44 ∴ v n =0.8∵ a 4n /a n = v 3n +v 2n +v n +1=0.83+0.82+0.8+1=369/125 ∴ a 4n =368*10/125=29.52陈冰健 31208020532. 已知：7|11|18|,,.a K a L a M === 求i 。

解答如下：77111118186111111(1)(1)(1)v K iv iK v L iv iL v M iv iMiK iL iM L K M i LK -==--==--==---=-+-=、金融1204 马高峰 31208021033. 某寿险保单的死亡福利可以以下列方式支付，下列不同方式的支付有下相同的（等于死亡福利）的现值： （1）在每个月末支付1200的永续年金； （2）在每个月末支付3654.7的持续n 年的年金； （3）在第n 年末一次性支付178663.2。

求该死亡福利金额。

解：1(12)120012PV i =(12)122(12)1(1)123654.73654.712n ni PV a i --+==(12)123178663.2178663.2(1)12n n iPV v -==+(12)123654.711(1)120012n i -⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦(12)121()0.67165567612ni -+=120000.1524120000PV =≈3120802068 刘方泽4、某连续的n 年期年金在t 时的支付率为1﹣kt ，0≤t ≤n 。

该年金的现值为f ﹣g ﹣h ，其中f 是连续支付1的永续年金的现值，g 是连续支付1﹣kn 的n 年延期永续年金的现值，求h 。

()()()022222291111110n nnt t t n n t t n n n n nnf kn vg f gh kt v dt kt e dtn e k k e k k k v k k k te e ne e nv v f g v k h v δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-------=-=--=-=-⎛⎫=-++=-++-=-++=-+ ⎪⎝⎭=⎰⎰、5、假设一笔10000元的贷款，计划从第五年开始在每年末偿还1000元，直至还请为止。

如果年实际利率为5％，并要求将不足1000元的一次非正规付款提前在前一年未支付，试计算最后一次付款的时间和金额。

解：假设最后一次付款的事件为n ，则4n-40.05%10000=1000a (10.05)23.18n -+⇒=假设在23年末的非正规付款额为X ，则有423190.0510*******(10.05)(10.05)176.23a X X --=+++⇒=答：最后一次付款的时间是23年末，付款额为1176.23元6、基金A 以月度转换12%的利率累计，基金B 以利息强度δt=t/6（t ≧0）累计，在t=0时，分别在两支基金中各存入1元，求使两支基金积累值相等的时刻T （T>0）。

tt22t s 12002t 12t 12tA t sts dsds6012B t A B t t12t144210.12A S =1+12B S e =e =e=eS =S 0.121+=e120.121+=e 121.432847643t δ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰=⎛⎫∴ ⎪⎝⎭⎛⎫∴ ⎪⎝⎭=、基金：基金：7、（较容易）某项资金的单利利率为i=4%，问在多长的时期里它会等价于212%的实际利率？解：设第n 期实际利率为n i ，则n i =11---An An An =(10.04)[10.04(1)]0.040.025[10.04(1)]0.960.04n n n n+-+-+-+==所以，n=16即：在第16期时它会等价于212%的实际利率。

3120802002刘倩 8、35页14题（较容易）已知投资$600 2年后得到$264的利息。

试确定以相同的复利率投资$2000在三年后的积累值。

解：()226411600i +=+ 20%i ⇒=()32000120%3456⨯+=综上三年后积累值为$3456.3120802004 万晓萍9、35页19题（中等偏难）第n 个时期末支付1和第2n 个时期末支付1的现时值之和为1，试确定()21n i +. 解：2111n n V V ⨯+⨯=211111nni i ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令11t i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭则21t t +=12t =()3212n i +⇒+=3120802009王丽旦 10、（容易）投资A 一年得到的利息金额为$336，而等价的贴现金额为$300，试确定A 。

解：336300$2800A i A d i d i d A ⨯=⨯=-=⨯∴=312080201211、36页32题（较容易）（a ）证明m m m i d i /1)()()1(+=。

（b ）按字面意思解释（a ）中得到的结果。

证明：（1）因为1]1[)(-+=mm mi i 所以mi i m m)(/11)1(+=+所以]1[)1()()(/1)(mi di dm m mm +=+因为i i d d m d m m +=--=1])1(1[/1)(所以][]1[]]]1[1(1[])11(1[])11(1[)()()(/1)(/1/1)(m m m m m m mmm i m i m i m mm m i m im ii m d +=+-=+-=+-=+--= 所以)()()()()()(]][[]1[m m m m m m i mi m i m i m m i d=++=+ 所以m m m i d i /1)()()1(+=（2）名义利率等于名义贴现率和期初的1元本金经过1/m 时期后用复利计算的累计值的乘积 3120802021杭定一12、设1m >,按大小增加的次序排列，i ,()i m ,d ,()md 与δ。

解：由公式得:1di d=-，δ=()ln 1i +，1d e δ-=- 在复利条件下，若用它们表示的的累积函数是相同的，则可称这些利息度量是等价的。

即对利息的计量结果在价值上是相同的，但在数值大小上并不相同，利息在年末收取，贴现率可看作是在年初收取，即提前一年获得了利息收入，所以在数值上较小，同理可得，各种等价的利息度量工具在数值上有如下大小关系：()()()2323d d d i i i δ≤≤≤≤≤≤≤≤L L L L 即当1m f 时，有()()mmd d i i δ<<<<3210802025 李维13、（较容易）资金A 以10%的单利率积累。

资金B 以5%的的单贴现率积累，找出一个时刻，使其时两笔资金的利息效率相等。

解：,1.011.01.01)(1t t t a A A +=⇒+-δt t t a B B 05.0105.0)5.01()(11-=⇒-=-δ511=⇒=t B A δδ3120802028 邓凯译14.某人留下了10万元遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。

如果年实际利率为8％，试计算三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额？（难度中等）甲：51000008%31941.68a ⨯⨯= 乙：5|51000008%21738.97a ⨯⨯= 丙：|101000008%46319.35a ∞⨯⨯=15、题：某项永久年金每年之初付1，其现时值为20。

如果此项年金被另一项每2年之初付R 的永久年金所取代，倘若要求此两项永久年金之值相等，求R 。

（难） 解：由题意可知a ••∞=1+2v +3v +……+n v +……=1d=20 ∴可得d=120R a ••∞=R(2v +4v + (2)v +……)= 221Rvv-=20 ∴解得R=2.16即R=2.16陆威旺314200203316.现在投资600美元，以单利计息，两年后可以获得150美元的利息。

如果以相同的复利投资2000美元，试确定三年后的累加值。

解： 两年的本利和=600+150=750（美元）由贴现函数得：600=750×2i 11⨯+解得i=1/8=12.5％由复利的累积函数得：三年后的累加值=2000×3%5.121）（⨯≈2848（美元）3120802001谢倩17.在零时刻，投资者A 在其账户存入X ，按每半年复利一次的年名义利息i 计息。

同时，投资者B 在另一个账户存入2X ，按利率i （单利）来计息。

假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求i 。

(中等难度)解：A 的半年实际利率为2iA:16151122i i X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,B:122X i Xi ⨯⨯=16151122i i X Xi ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1615151112222i i i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭15122i ⎛⎫+= ⎪⎝⎭两边取对数，1152120.094588i ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭3120802003 于洋18.如果年名义贴现率为6%，每四年贴现一次，请计算$100在两年末的累积值。

解：$100在两年末的累积值为：()124100146%114.71-⨯⨯-⨯=3120802005李旋19.如果m i （）=0.1844144，(m)d =0.1802608，请计算m 。

解：如果用m i （）表示一年复利m 次的年名义利率，则每次复利的实际利率就是()m i m ，年末的累计值为()1+mm i m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，它应该等于以年实际利率i 计算的年末累计值(1+)i ,即(m)1+1mi i m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦如果用 n d （）表示年名义贴现率，每1n 年贴现一次，则每1n年的实际贴现率为(n)d n ，因此年末的一元在年初的现值为(n)1-nd n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，它应该等于按年实际贴现率d 计算的现值(1)d - ，即 ()1-1nn d d n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦用名义利率计算的年末累计值为()1+mm i m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，用名义贴现率计算的年末累计值为(n)1-nd n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因此有()1+mm i m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=(n)1-nd n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦若令m=n()()1+111mm m i d i d m m ⎡⎤⎡⎤=+=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(m)()()()()()()()**0.1844144*0.180260880.18441440.1802608m m m m m m m i d i d m m m m i d m i d -===≈-- 3120802006陈倩20.基金A 以每月复利一次的名义利率12%累积，基金B 以=t/6的利息力累积。