2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1∼8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221x x y x +=−渐近线的条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =−−−⋯,其中n 为正整数,则(0)y ′=()(A)1(1)(1)!n n −−−(B)(1)(1)!n n −−(C)1(1)!n n −−(D)(1)!n n −(3)如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是()(A)若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B)若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C)若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D)若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在(4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==∫I 则有()(A)123I I I <<(B)321I I I <<(C)231I I I <<(D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,2201C α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,3311C α⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠,4411C α−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)123,,ααα(B)124,,ααα(C)134,,ααα(D)234,,ααα(6)设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ −=()(A)100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(B)100010002⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(C)200010002⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(D)200020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=()(A)15(B)13(C)25(D)45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为()(A)1(B)12(C)12−(D)1−二、填空题：9∼14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +−=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =∫(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=∫∫(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX −的秩为(14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C ===三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 111)12x x x x x x ++≥+−<<−(16)求函数222(,)x y f x y xe +−=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数(18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

(19)已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0)，再沿圆周22+4x y =到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d (2)d LJ x y x x x y y=++−∫(20)(本题满分分)设10010101,00100010a a A a aβ⎡⎤⎛⎞⎜⎟⎢⎥−⎜⎟⎢⎥==⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠（I）计算行列式;A (II)当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解。

(21)已知1010111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥−⎣⎦，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x Qy =将f 化为标准型.（22）设二维离散型随机变量X 、Y 的概率分布为12141410132112112（Ⅰ）求{}2P X Y =；（Ⅱ）求Cov(,)X Y Y −.(23)设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N u σ与2(,2)N u σ，其中σ是未知参数且0σ>。

设.Z X Y =−(1)求Z 的概率密度2(,);f z σ（2）设12,,,n z z z ⋯为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ⌢（3）证明2σ⌢为2σ的无偏估计量数一参考答案一、选择题12345678C C B D C B A D二、填空题9、x e ；10、2π；11、{}1,1,1；12、13、2；14、34三、解答题(15)证明：令()21ln cos 112x x f x x x x +=+−−−，()f x 是偶函数()212ln sin 11x x f x x x x x +′=+−−−−()00f ′=()()()222221411cos 1111x x f x x x x x −+′′=++−−+−−()()222244cos 12011x x x =−−≥−>−−所以()()00f x f ≥=即证得：()21ln cos 11112x x x x x x ++≥+−<<−(16)解：()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y fx y e xex ex xf x y xe y y+++−−−+−⎧∂=+−=−=⎪∂⎪⎨∂⎪=−=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P −()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y f x y xe y y++−−+−+−⎧∂=−+−−⎪∂⎪⎪∂⎪=−−⎨∂∂⎪⎪∂⎪=−∂⎪⎩根据判断极值的第二充分条件，把()11,0,P −代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()11,0,P −为极小值点，极小值为()121,0f e−−=−把()21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()21,0P 为极大值点，极大值为()121,0f e−=(17)解：（Ⅰ）收敛域22(1)122222211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1n n n n n n n n n x a x n n n n R x xn n a x n n n xn ++→∞→∞→∞+−++⋅+++++===⋅⋅=+++++++++⋅++令21x <，得11x −<<，当1x =±时，技术发散。

所以，收敛域为(1,1)−（Ⅱ）设222222000443(21)22()[(21)](1)212121n n n nn n n n n n S x x n x x x n n n ∞∞∞===++++===++<+++∑∑∑令210()(21)nn S x n x ∞−=+∑，2202()21nn S x x n ∞−=+∑因为22112()(21)(1)1xxnn n n xS t dt n t dt x x x∞∞+===+==<−∑∑∫∫所以212221()()(1)1(1)x x S x x x x +′==<−−因为21202()21n n xS x x n ∞+−=+∑所以22221[()]222(1)1nn n n xS x xx x x∞∞−−′===⋅<−∑∑所以22001111[()]2()ln (1)1111xx x xtS t dt dt dt x t t t x+′=⋅=+=<−+−−∫∫∫即201()ln1xx xS x x +=−，故21()ln 1x xS x x+=−当0x ≠时，211()ln1xS x x x+=−当0x =时，12(0)1,(0)2S S ==所以，22212111ln (1,0)(0,1)()()()(1)130x xx S x S x S x x x xx ⎧+++∈−∪⎪=+=−−⎨⎪=⎩(18)解：曲线L 在任一处(,)x y 的切线斜率为sin ()dy tdx f t −=′，过该点(,)x y 处的切线为sin cos (())()tY t X f t f t −−=−′。

令0Y =得()cot ()X f t t f t ′=+。

由于曲线L 与x 轴和y 轴的交点到切点的距离恒为1.故有22[()cot ()()]cos 1f t t f t f t t ′+−+=，又因为'()0(0)2f t t π><<所以sin ()cot tf t t′=，两边同时取不定积分可得()ln sec tan sin f t t t t C =+−+，又由于(0)0f =，所以C=0故函数()ln sec tan sin f t t t t=+−此曲线L 与x 轴和y 轴所围成的无边界的区域的面积为：2cos ()4S tf t dt ππ′==∫(19)解：补充曲线1L 沿y 轴由点(2,0)到点(0,0),D 为曲线L 和1L 围城的区域。

由格林公式可得原式=1123233d (2)d 3d (2)d L L L x y x x x y y x y x x x y y+++−−++−∫∫=1122(313)(2)12DL DL xx d y dy d ydyσσ+−−−=+∫∫∫∫∫∫22222001121244222ydy y ππππ=⋅⋅−⋅⋅−=−=−∫(20)解：（I）4141001000010=101(1)10100100101001a a a a A a a a a a a a+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=×+×−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(II)对方程组Ax β=的增广矩阵初等行变换：2321001100110010101010101010010001000100010001001aaa a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦421001010100100001a a a a a a ⎡⎤⎢⎥−⎢⎥→⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦可知，要使方程组Ax β=有无穷多解，则有410a −=且20a a −−=，可知1a =−此时，方程组Ax β=的增广矩阵变为11001011010011000000−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦，进一步化为最简形得10010010110011000000−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦可知导出组的基础解系为1111⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，非齐次方程的特解为0100⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，故其通解为10111010k ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠(21)解：（1）由二次型的秩为2，知()2T r A A =，故()()2T r A r A A ==对矩阵A 初等变换得101101101101011011011011100010010010*********a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因()2r A =，所以1a =−（2）令202022224T B A A ⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠202202102022(2)22(2)122(2)(6)022*******E B λλλλλλλλλλλλλλ−−−−−−=−−=−−−−=−−−−=−−=−−−−−−−所以B的特征值为1230,2,6λλλ===对于10λ=，解1()0E B X λ−=得对应的特征向量为1(1,1,1)T α=−对于22λ=，解2()0E B X λ−=得对应的特征向量为2(1,1,0)T α=−对于36λ=，解3()0E B X λ−=得对应的特征向量为3(1,1,2)T α=将123,,ααα单位化可得1211111,1,1102ηηη⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟==−=⎟⎟⎟⎟⎟⎟−⎠⎠⎠正交矩阵0Q ⎛⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜⎝，则026TQ AQ ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠因此，作正交变换x Qy =，二次型的标准形为2223()()26T T T f x x A A x y Ay y y ===+（22）解：X 012P 1/21/31/6Y 012P 1/31/31/3XY 0124P7/121/31/12（Ⅰ）{}{}{}1120,02,1044P X Y P X Y P X Y ====+===+=（Ⅱ）cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y −=−cov(,)X Y EXY EXEY =−，其中22251,1,,33EX EX EY EY ====2245()199DX EX EX =−=−=2252()133DY EY EY =−=−=，23EXY =所以，22cov(,)0,cov(,),cov(,),033XY X Y Y Y DY X Y Y ρ===−=−=(23)解：（1）因为2(,)X N u σ∼，2(,2)Y N u σ∼，且X 与Y 相互独立，故2(0,3)Z X Y σ=−∼所以Z 的概率密度为2226(,)()z fz z σσ−−∞<<∞（2）最大似然函数为2222611()(;)),(1,2,,)i z n ni i i i L f z z i n σσσ−===∏=∏−∞<<∞=⋯两边取对数，得222211ln ()[ln ]26ni i Z L σσσ==−−−∑两边求导得222222222211ln ()11[][3]()26()6()n ni i i i Z d L n Z d σσσσσσ===−+=−+∑∑令22ln ()0()d L d σσ=，得22113n ii Z n σ==∑所以2σ的最大似然估计量22113n ii Z n σ==∑⌢（3）证明：22222111111()()[()(())]3333n n n i i i i i i E E Z D Z E Z n n n σσσ=====+==∑∑∑⌢所以2σ⌢为2σ的无偏估计量2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1∼8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221x x y x +=−的渐近线条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数2()=(1)(2)()x x nx f x e e e n −−−⋯其中n 为正整数,则'(0)f =()(A)1(1)(1)!n n −−−(B)(1)(1)!n n −−(C)1(1)!n n −−(3)设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==+++⋯⋯，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要(4)设2sin d (1,2,3),k x k I e x x k π==∫则有()(A)123I I I <<(B)321I I I <<(C)231I I I <<(D)213I I I <<(5)设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有,,0,0,x y x y x y∂∂><∂∂（）（）则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是()(A)1212,x x y y ><(B)1212,x x y y >>(C)1212,x x y y <<(D)1212,x x y y <>(6)设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y −=∫∫()(A)π(B)2(C)-2(D)-π(7)设1100C α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2201C α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,3311C α⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠,4411C α−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,1C ，2C ，3C ，4C 均为任意常数,则下列数列组相关的是()(A)1α，2α，3α(B)1α，2α，4α(C)2α，3α，4α(D)1α，3α，4α(8)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,若()123,,P ααα=，()1223+,,Q αααα=,则1Q AQ −=()(A)100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(B)100010002⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(C)200020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(D)200020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠二、填空题：9∼14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设()y y x =是由方程21yx y e −+=所确定的隐函数，则220x d yd x ==.(10)22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎞+++=⎜⎟+++⎝⎠⋯.(11)设1ln ,z f x y ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂.(12)微分方程()2d 3d 0y x x y y +−=满足条件11x y ==的解为y =.(13)曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是.(14)设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA =.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知函数()11sin x f x x x+=−，记()0lim x a f x →=，（I）求a 的值;（II）若0x →当时，()f x a −与k x 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)求函数()222,x y f x y xe +−=的极值.(17)过(0,1)点作曲线:L y lnx =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围城,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)计算二重积分d Dxy σ∫∫，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x ′′′+−=及()()2x f x f x e ′′+=,(I)求的表达式;(II)求曲线220()()d xy f x f t t =−∫的拐点(0)f ′(20)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+−,(11)x −<<.(21)(I)证明方程1x x x ++=⋯n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎞⎜⎟⎝⎠内有且仅有一个实根；（II）记（I）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)设100010001001a a A a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，1100β⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠（I ）计算行列式A ；(II）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)已知1010111001A a a⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，（I ）求实数a 的值；（II ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形.数二参考答案一、选择题12345678CC AD D D C B二、填空题9、21x x e +；10、4π；11、0；12、2x y =；13、()1,0−；14、27−三、解答题15、解：（I ）()00011sin lim limlim 011sin sin sin x x x x x x xa f x x x x x x→→→+−==−=+=+=（II ）()00011sin sin lim lim 1lim sin sin sin x x x x x x x x f x a x x x x x →→→+−−⎛⎞⎛⎞−=−−=+⎡⎤⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠()()3001sin 16lim lim sin sin x x x x x x x x x x→→−+⎛⎞==⎜⎟⎝⎠()300161sin lim lim 6x x x f x a x x x x →→−⎡⎤==⎢⎣⎦，所以k=116、解：()()()()()2222222222222,10,0x y x y xy x y fx y e xe x e x xf x y xe y y+++−−−+−⎧∂=+−=−=⎪∂⎪⎨∂⎪=−=⎪∂⎩得驻点()()121,0,1,0P P −()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y f x y xe y y++−−+−+−⎧∂=−+−−⎪∂⎪⎪∂⎪=−−⎨∂∂⎪⎪∂⎪=−∂⎪⎩根据判断极值的第二充分条件，把()11,0,P −代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()11,0,P −为极小值点，极小值为()121,0f e−−=−把()21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()21,0P 为极大值点，极大值为()121,0f e−=（17）解：1y x ′=，设切点坐标(),ln o o x x ，切线方程为()1ln o o oy x x x x −=−又切线过点(0,1)，所以2o x e =，故切线方程为211y x e =+切线与x 轴交点为B ()2,0e −所围面积()222011y A e e y dy e ⎡⎤=−−=−⎣⎦∫旋转体体积()()2222221122ln 333e V e e xdx e πππ⎡⎤=−−−=+⎣⎦∫（18）解：()()1cos 014401d cos sin 1116cos sin 1cos 14415Dxy d d d t t dt πθπσθρθρθρρθθθθ+−= =+=+=∫∫∫∫∫∫（19）解：（I ）'''()()2()0f x f x f x +−=对应的特征方程为220r r +−=，r=-2，r=1所以()212x xf x C e C e −=+把()212x x f x C e C e −=+代入''()()2x f x f x e +=，得到()x f x e =（II）同理，当x<0时，0y ′′<可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。