例
在水流量恒定下，对冲洗锅炉水处理装置的滤料，得 出洗涤水浓度 c 与时间t的关系，求数学模型。
绘图—与标准曲线比 较—判断曲线类型
lnC = lnC0 + A t 将实验数据绘在半对数 纸上
所有点均在一条直线 上，所选指数模型是正
确的。
在表中选择两对相距“较远”的数据， 如 t1＝ 1, C1 = 6.6, t2 = 8, C2= 0.56 代入模 型中,求A,C0
图 8 - 7 冷冻机容量曲线
（二）进行线性化转换
对上式取对数，得： lgR = lga + b lgAt 新变量： Y = lgR X = lgAt
（三）验证所选公式 将已知数据，在双对
数坐标上绘制容量曲线。 此曲线呈一直线，说明 初选函数符合实际情况。
图 8 - 8 线性化后的 冷冻机容量曲线
直线关系
（t,lgy）为坐标轴的图8-1上。
这些点都落在一条直线上，证明 所初选的数学模型是合理的。
并非所有函数形式均能设法转换为直线关系 通常对含有两个系数的方程最适合
二、适合于线性化的典型函数及图形
为便于将实验曲线与典型曲线相对照初选 数学模型 列出了一些非线性方程、典型图示和线性 化的变换方法。
（6）幂函数 传热准则数关联式 幂级数
（7）双曲线函数是拟合地基沉降、水泥土桩极限 承载力曲线中常用的函数形式
3．将实验数据标绘成曲线，与各种典型曲线 对照，确定函数形式。
第二节 建立n次多项式的数学模型
理论和经验证明，当次数增加时，通常可 以达到与原函数的任意接近程度。
如果有n+1 对实验数据（xi,Φi），可以把 数模选成n次多项式的形式。 解n+1 个 yi= Φ(xi)方程组，即可求出n+ 1 个未知的系数 a0 ，al , a2 , ….an之值。
一、 n 次多项式项数的确定 用差分检验法决定多项式模型的项数
步骤：
选取成等差数列的自变量数值xi，
➢ 列出对应xi的 yi 值
➢ 一阶差分
，
➢ 二阶差分
，
➢ 三阶差分
，
➢ ……
➢ 作出差分表。
原则：当第n阶差分列内所有的数值接近相等时，就 意味着用n次多项式来表示未知函数已足够准确。
（t，T）
令 Yi* ln Yi , ln A 则可将原模型化为标准的线性回归模型；
Yi* bXi ui
放射性同位素测化石年代，概率中的指数分布，细菌的繁殖， 原子弹的裂变，元素的衰减，室内空气品质污染物含量
3 对数函数模型 对数函数模型的一般形式为：
Yi ln Xi ui
令
X
* i
这样分组往往可以得出满意的结果。
所求数学模型为：
为检查此数学模型，将实测的自变量 ti逐个代 入公式，计算出y值，再与实测值yi相比较。比较 结果：
结果满意。
三、用最小二乘法求数模公式系数
(xi，yi), yi = f(xi) ，找出一个Φ（xi）使
达到最小。 Φ（xi）就是最小二乘法得到的数学模型 。 得到的数模或曲线能更好的接近真实值。 最小二乘法用于求取各种多项式的系数是很常见的。 具体分析（怎样判断偏差平法和最小）见第九章第二节。
可以直接用统计软件进行最小二乘回归
其中系数 A 为该直线与 Y 轴的截距；
系数 B 为该直线的斜率。
系数 A 可由直线与 Y 轴的交点的纵坐标定出。
系数 B 可由直线与 ox 轴夹角的正切（tgα）求。
用图解法很直观，也能达到一定精度。
2 也可选取直线上相互距离较远的两个点（两点一线）， 即直两接对求实解测两数方据程（，即X1,Y1) (X2,Y2) 代入模型（8-12）式
✓ 注意：
实验曲线可能只与典型曲线的一部份（在某 区间内）相同。
试验曲线的不同部分对应不同的典型曲线。
所得的数学模型，应严格限制在相应范围内 使用。
[ 例 8 - 4 ] 试求办公楼类建筑，空调所需冷冻机容量R （ kJ / h ）与建筑规模（面积At) 大小的经验总结公式。
（一）在直角坐标上绘制容量曲线。对照典型曲线初 选函数形式 实际曲线与图 8 - 2 的幂函数， y= axb 当 b > 1 时 的曲线非常相似。初选函数形式 R = aAt b
每一对（Xi，Yi）就有一个条件方程，实验数据 为n对，条件方程有n个，近似直线n条。
将所有n个方程等分成两大组。当 n 为奇数时， 两组近似相等。
再把每大组的条件方程相加，得出两个方程。
解此两方程，求得“平均”意义下的系数 A 和 B 值。
分组方法： 通常按实验数据的先后次序，从中间近似分段，联立求 解。
5 S-型曲线（生长曲线）模型 S-型曲线模型的一般形式为：
1
Yi e Xi ui
首先对上式做倒数变换得：
1 Yi
eXi
ui
令
Yi*
1 Yi
,
X
* i
e Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi*
X
* i
ui
6 多项式函数模型 多项式函数模型的一般形式为：
Yi
0
1 X系数 c = a0 + a1T + a2T2
牛顿插值公式
牛顿插值公式
用两点插值，从直线方程点斜式出发，
y(x) =
y0
+
y1 x1
y0 x0
(x
x0)
推广到具有n+1 个插值点的情况
牛顿插值公式的优点是：增加一个节点时，只 要再增加一项就行了
牛顿插值公式
x
y
yn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+…
5 S-型曲线（生长曲线）模型
S型曲线主要用于描述动、 植物的自然生长过程，又称 生长曲线. 一般，事物总是经过发生、 发展、成熟三个阶段，每一 个阶段的发展速度各不相同。 通常在发生阶段，变化速度 。 较为缓慢；在发展阶段，变 化速度加快；在成熟阶段， 变化速度又趋缓慢.
按上述三个阶段发展规律得到的变化曲线为生长曲线。
第八章 建立实验数 学模型的一般方法
获得变量间关系
方式： 1 纯数学推导得出理论公式
2 ★ 将实验数据整理成反映变量间关系的数
学模型，解决实际问题。
利用实验数据获得数学模型两个步骤： 确定函数形式 求公式系数
第一节 寻求数学模型函数形式的几种方法
由实验数据建立数学模型，关键的问题是如 何确定变量间可能存在的函数形式。
ln Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi
X
* i
ui
对数函数应用于PH值的计算PH=-lg(H+…)
4 双曲线函数模型
x y = 1 双曲线函数
双曲函数模型的一般形式为：
1 Yi
1 Xi
ui
令
Yi*
1 Yi
,
X
* i
1 Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi*
X
* i
ui
双曲线函数 是拟合地基 沉降、水泥 土桩极限承 载力曲线中 常用的函数 形式
L
k
X
k i
ui
令
Z1i
Xi , Z2i
X
2 i
,L
, Zki
X
k i
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Y 0 1Z1i 2Z2i L k Zki ui
非线性方程进行线性化的典型实例，表 8 - 6 。
附录8中更多的典型曲线，排列成表以供对 照选取数模。
对于每一个函数，针对不同的系数值，给出 了许多条曲线。
＝f(x) 合适
［例8-3］ 在研究某化学反应 速度时，得到的数 据见表 8-5 ， t为从实验开始算 起的时间； y为在反应混合物 中物质的量，
选择一个合适的数 学模型。
【解】 首先将所得实验数据标绘在图上。初选模型（图83 指数函数，b < 0）
验证初选模型是否正确
将公式两边取对数直线化。
插值公式所求出的结果要准确些(前提：测量数据 准确无误差)， 实验误差敏感
第三节 根据实验曲线选取数学模型
➢ 理论推导和专业经验均无法确定函数形式 ➢ 多项式方次高
根据实验曲线选取数学模型
步骤： 将实验数据标绘成曲线 按曲线的形状，对照各种典型曲线，初选一个函
数形式 用直线化检验法鉴别选择是否合理
Δ y0
Δ 2y0
Δc0 、 Δ2c0 取平均值
Δc0 、 Δ2c0 取平均值
除了与差分有关， a0与 x0 、 y0 有关， a1与 x0 有关，
用其它点作为x0 、 y0 代入，求出不同的a0、 a1
a0、a1取平均值
a 2 与 x0, y0无关
取平均值
，
数学模型为：
与工程热力学结果一致。c 计算，
与实测 c 比较，两者完全吻合。插值法要 求曲线过实验点。
过分地追求符合实验数据（即使曲线通过 实验点）也是徒劳无益的。
y=p(x) y=f(x)
采用牛顿插值公式，求二次多项式数模的系 数，与回归分析或曲线拟合法不同。
不同点：
插值是通过实验点连接曲线 回归和拟合是在实验点附近找出较靠近的曲线
所求数学模型为
二、用平均值法求数学模型的公式系数
两点确定一条直线，将任何两对数据代入直线 方程，解出直线公式的系数。
有 2n 对实验数据，能求出n组不同的公式系数， 取其平均结果。
如何求平均？ 将已知数据，分成两组，直接计算出平均系数
具体步骤：
利用直线化方法得出线性方程 Y= A + B X 后， 列出条件方程 Yi = A + B X i .