•第三次作业：第117页：•2.2、2.5、2.6、2.8 —2.11•11月12日交第3次作业2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有2•四、家庭的最大化问题•1、家庭最大化问题的一阶条件•家庭的问题是，在预算约束条件下选择c(t)的路径以最大化一生效用。
尽管这涉及选择每一时点上的c(而非像标准的最大化问题那样，仅选择有限的一组变量)，传统的最大化方法仍可使用。
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版权所有3•由于消费的边际效用总为正，所以家庭满足其预算约束的等号形式。
因此，我们可用目标函数(2.14)和预算约束(2.7)来构造拉格朗日函数：•目标函数：∞[ e -βt c(t)1-θ／(1-θ) ] dt (2.14)•U ≡ B∫t=02013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有4•约束条件：•∫t=0∞e -R(t) c(t) e(n+g)t dt•≤ k(0) + ∫t=0∞e -R(t) w(t) e(n+g)t dt (2.7)•L= B∫t=0∞[e -βt c(t) 1-θ／(1-θ)]dt +λ[ k(0) +•∫t=0∞e -R(t) e(n+g)t w(t)dt -∫t=0∞e -R(t) e(n+g)t c(t)dt ]•(2.15)2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有5•c(t)：选择变量，政策可控制。
如何选择，以最大化一生的效用。
•k(t)：状态变量。
•t ：时间变量。
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版权所有6•即以某一时期t为例，写出某一时期t的拉格朗日函数：•L = B e -βt c(t)1-θ／(1-θ) +•λ [ k(0) +e -R(t)e(n+g)t w(t) -e -R(t)e(n+g)t c(t) ]•存在极值的一阶条件为：•∂L ／∂c=B e-βt c(t)-θ-λe -R(t)e(n + g)t= 0 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有7•传统的最大化问题是求一个确定的点值•现在的最大化问题是求一条道路，无数点的集合。
家庭选择每一时点上的c ；也就是说，它选择无限多个c(t)。
对单个c(t)的一阶条件是：•B e -βt c(t)-θ= λe -R(t)e(n+g)t(2.16) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有8•家庭的行为特征由(2.16)和预算约束(2.7)描述。
•要考虑(2.16)在消费行为方面的含义，首先对两边取对数：•ln B -βt –θln c(t) = lnλ -R(t) + (n + g)t •(2.17) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有9•现在注意，由于对于每一t(2.17)两边都相等，因此两边对t的导数也应相等。
两边对t 求导后，有•-β–θc˙(t)／c(t)•=-dR(t)／dt+(n+g)•=-r(t)+(n+g)(2.18)2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有10•其中我们用了R(t)的定义，以求得dR(t)／dtt r(τ) dτ•R(t) = ∫τ=0•定式：如果g(x) =∫f(x)dx ，•则g′(x) = f(x)2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有11•从(2.18)中求c˙(t)／c(t)，得到：•c˙(t)／c(t)•=[r(t)–n–g–β]／θ(2.19)•= { r(t) -n –g –[ρ-n -( 1 -θ)g ] }／θ•= [ r(t) -ρ–θg ] ／θ2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有12•其中第二行用到了β的定义：•β≡ρ-n-(1-θ)g•这一步不大正规；问题在于(2.16)中各项在(2.15)中的阶为dt ；也就是说，它们对该拉格朗日函数的影响为无穷小。
除了简单地“去掉”dt 这种方法(我们在(2.16)中用的就是这种方法)之外，比较正规地探讨这一问题的方法有多种。
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版权所有13•比如，我们可以认为家庭在[ 0，∆t ]、[ ∆t，2∆t ]、[ 2∆t，3∆t ]……这一系列有限区间内选择消费，且要求在每一区间内消费不变，然后求∆t趋于0时的极限，这也可得(2.16)。
另一种方法是应用变分法(见70页注)。
•方程(2.19) c˙(t)／c(t) = [ r(t) -n –g –β]／θ称为该最大化问题的欧拉方程。
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版权所有14•2、欧拉方程(2.19)的推导•可在无需家庭一生预算约束的条件下，从家庭偏好中推导出来。
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版权所有15•方程(2.19)称为该最大化问题的欧拉方程。
推导(2.19)的一个较为直观的方法是，考虑家庭在连续两个时点的消费。
具体而言，设想家庭在某时点t 将C降低一小量∆c ( 正规地应为一无穷小量)，并将由此增加的储蓄投资于一个短期∆t (正规地应为无穷短期)，然后在时点t +∆t 消费掉投资所得收益；2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有16•───┴──────────────┴───→•t t+∆t•-∆c(t) + ∆c(t+∆t)•-∆U (c(t)) + ∆U( c(t+∆t)) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有17•假定在这样做时，家庭不改变t 和t+∆t 以外所有时点上的消费和资本持有量。
如果家庭是最优化的，则该变化对一生效用的边际影响必须为0。
•-∆U( c(t) ) = ∆U( c( t +∆t) )2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有18•现在( t ) 未来( t +∆t )•∆U(c(t)) ∆U( c( t +∆t ) )• e -βt e -β(t +∆t)•c(t)c( t +∆t )•∆c(t) ∆c( t +∆t )• e -[r(t)-n-g]∆t1• 1 e [r(t)-n-g]∆t2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有19•(1)∆U (c(t))和∆U( c(t +∆t))的表达式：•由(2.14)可知c(t)的边际效用为：• d U( c(t))／d c(t) = B e -βt c(t)-θ＞0•∆U (c(t))／∆c(t) = B e -βt c(t)-θ＞0 •——→ U 与c 同向变动2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有20•家庭在某时点t 将C 降低一小量∆c (正规地应为一无穷小量)，(U′＞0 )因此，该变化导致t 期的边际效用的增加量下降∆U( c(t))，•有一效用成本：•∆U(c(t)) = B e -βt c(t)-θ∆c(t)2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有21•并将由此增加的储蓄投资于一个短期∆t (正规地应为无穷短期)，然后在时点t+∆t 消费掉投资所得收益；假定在这样做时，家庭不改变t 和t+∆t 以外所有时点上的消费和资本持有量。
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版权所有22•如果家庭是最优化的，则该变化对一生效用的边际影响必须为0。
•-∆U(c(t)) = ∆U( c(t+∆t))•∆U(c(t)) = B e -βt c(t)-θ∆c(t)•∆U(c(t+∆t)) = B e -β(t+∆t) c(t+∆t)-θ∆c(t+∆t)2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有23•(2)c(t +∆t) 的计算：•∵c(t)趋向于c(t+∆t) 的过程，按照c˙(t)／c(t)的增长率增长。
•∴c( t +∆t ) = c(t)e [c˙(t)／c(t)]∆t——t 期即为0期•L˙(t)／L(t) = n , L(t) = L(0)e nt，2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有24•(3)∆c(t +∆t) 的计算•从约束条件中，看消费贴现率的大小：∞e -R(t) c(t) e( n+g )t dt ≤•∫t=0∞e -R(t) w(t) e( n+g )t dt (2.7)•k(0) + ∫t=02013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有25•定式：R(t) = r(t)t后面经常在此变化。
•R(t)是隐型函数，表明利率R是时间t 的函数•r(t)t是显型函数，表明实际利率r 和时间t 的关系。
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版权所有26•一生消费的贴现计算为：• e -R(t)+ ( n+g )t = e -r(t)t +( n+g )t•= e -[r(t)-( n+g )]t2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有27•由于即期报酬率为r(t)，所以时点t+∆t 上的消费可以增加：•∆c( t +∆t ) = e [r(t)-(n+g)]∆t ∆c(t)。
•因此，要使消费路径为效用最大化的，它必须满足：•∆U(c(t)) = ∆U( c(t +∆t))2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有28•∆U(c(t)) = Be -βt c(t)-θ∆c(t)•∆U( c(t +∆t)) = B e -β(t +∆t) c(t +∆t)-θ∆c(t +∆t)•╭───╯╰──╮╭─╯╰──╮•= Be -β(t+∆t) [c(t)e [c˙(t)／c(t)]∆t] -θe[r(t)-n -g]∆t∆c(t)•Be -βt c(t)-θ∆c(t)(2.20)•= Be -β(t+∆t) [c(t)e[c˙(t)／c(t)]∆t] –θe [r(t)-n -g]∆t∆c(t) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有29•两边同除以Be –βt c(t) –θ∆c(t) ，得到：•1=e–β∆t e[c˙(t)／c(t)]∆t(–θ)e[r(t)–n–g]∆t•两边取对数，得到：•–β∆t –θ[c˙(t)／c(t)]∆t + [r(t) –n –g]∆t •= 0 (2.21) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。
版权所有30•最后，除以∆t 并整理得欧拉方程(2.19)。
•–β–θ[c˙(t)／c(t)] + [r(t) –n –g] = 0•c˙(t)／c(t)=[r(t)–n–g–β]／θ•= { r(t) –n –g –[ρ–n –(1 –θ)g ]}／θ•= [ r(t) –ρ–θg ]／θ (2.19) 2013-11-5 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。