1 2
dv2 dt
1 2
2
d dt
(x2
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
d dt
1 2
v2
1 2
2 (x2
y2)
1
1 r1
2
1 r2
0
动能
旋转 势能
势能
1 v2 2
1 2(x2
2
y2 ) 1
1 r1
2
1 r2
C
机械能
19
2.2 零速度面
2 (x2 y2 ) 21 22 +2C v2 0
25
具体应用
天然的天文观测点：韦伯太空望远镜，2018年放 置于太阳─地球的第二拉格朗日点 天然的通信中继站：嫦娥4号将在地月拉格朗日2 点放置一颗数据中继卫星，实现月球背面的通信。
26
请批评指正！
&
r13
r23
z&&z&
1
r13
zz&
2
r23
zz&
x&&x&
y&&y& &
z&&z&
2
xx&
yy&
1
r13
(
xx&
y&y
zz&
2r12
x&)
2
r23
( xx&
y&y
zz&
1r12
x&)
17
2.1 雅可比积分
1 2
dv2 dt
1 2
2
d dt
(x2
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
18
2.1 雅可比积分
12
1.3 拉格朗日解
地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
13
1.3 拉格朗日解
地月系统5个拉格朗日点（以地球为坐标原点）
14
3/2
1.3 本节作业
作业：计算地月系统5个拉格朗日点（地球为中心）
思考题：拉格朗日存在的力学原理？
d 2r dt 2
R
2ω
dr dt
R
ωωr
F m
向心加 速度
ωωr F m
引力加 速度
15
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
16
2.1 雅可比积分
x&&x&
x&2 y&
x& 2 x
1
r13
x&(x
2r12 )
2
r23
x&(x
1r12 )
y&&y& y&2x& y&2 y 1 y&y 2 y&y
r1
r2
地月系统
20
2.2 零速度面
21
2.2 零速度面
22
2.3 算例
探测器在地月连线， 距离地面200 km的 高度加速
1 v2 2
1 2(x2
2
y2 ) 1
1 r1
2
1 r2
C
23
2.3 算例
结论：10m/s左右的速度冲量，对探测器可达 到的访问范围有巨大的影响。
24
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
y
2
r23
y
0
1
r13
z
2
r23
z
z=0，平衡点在 天体运动平面内
9
1.3 拉格朗日解
2 x
1
r13
(x
2r12 )
2
r23
(x
1r12 )
2 y
1
r13
y
2
r23
y
G(m1 m2 ) r132
r132
10
1.3 拉格朗日解
当 拉格朗日L4，L5点
11
1.3 拉格朗日解
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
I
d 2r dt 2
R
2ω dr dt
R
ω&r ωωr
叉乘求积时，先写出各分量，运
d 2r dt 2
R
2ω
dr dt
R
ωωr
F m
算即得。
w=【0；0；w】 r=【x；y；z】
F m
Gm1 r13
r1
Gm2 r23
r2
dr/dt=[dx/dt;dy/dt;dz/dt]
7
1.2 限制性三体问题的动力学方程
日-地-月系统为一个三体问题（研究月球运动问题） 地-月-探测器为一个限制性三体问题（研究月球探测）
3
1.2 限制性三体问题的动力学方程
m
m2 r
s
m1
&r&
Gm1 r3
r
Gm2
sr s r 3
s s3
4
1.2 限制性三体问题的动力学方程
Body-Body-Rotation，BBR
iz
G(m1 r132
第七章 限制性三体问题
主讲教师：杏建军 2020年7月3日
授课内容
1. 限制性三体问题的拉格朗日解 2. 雅可比约束 3. 具体应用
2
1.1 三体问题的定义
天体力学术语 二体问题：研究两个天体相互吸引下的相对运动。 N体问题：研究N个天体相互吸引下的相互运动。 三体问题：研究三个天体相互吸引下的相互运动。 限制性三体问题：当其中一个天体质量相对其他两个天体 为小量，不会对其他两个天体运动造成影响的三体问题。
m2
)
iz
r132 iz
5
1.2 限制性三体问题的动力学方程
系统的质心 又因为 得到
π2月球质量与地月质量的比值0.01215
6
1.2 限制性三体问题的动力学方程
在BBR坐标系中
dr dr ωr dt I dt R
w=n=sqrt(u/a^3)
u=G(m1+m2) a=r12(即地月距离)
d 2r dt 2
&x&
2
y&
2x
1
r13
(x
2r12
)
2
r23
(x
1r12
)
&y& &
2x& 2 y
1
r13
y
2
r23
y
&z&
1
r13
z
2
r23
z
限制性三体动力学方程， 没有一般的解析解！
8
1.3 拉格朗日解
平衡3
(x
2r12 )
2
r23
(x
1r12 )
2 y
1
r13