1．天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．( × ) 2．海王星的发现确立了万有引力定律的地位．( √ ) 3．牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道．( × ) 4．地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．( × )
5．若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳
的质量．( × )
地球的质量．
(2)计算太阳质量（环绕法）
①思路：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时， 行星与太阳间的万有引力 充当向心力．
②关系式：GMm＝ r2
m4Tπ22r .
4π2r3 ③结论：M＝ GT2 ，只要知道行星绕太阳运动的周期 T
和轨道半径 r 就可以计算出太阳的质量．
④推广：若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之间
故该天体的密度为ρ＝MV ＝GT4π21·243Rπ3R3＝G3Tπ12.
(2)卫星距天体表面的高度为h时，有 GRM＋mh2＝m4Tπ222(R＋h)，解得ρ＝MV ＝3πGRT＋22Rh3 3.
[答案]
3π (1)GT21
3πR＋h3 (2) GT22R3
1卫星在距天体表面的高度为h的轨道上运行时，轨道半径 为R＋h，此天体的半径为R.注意区分卫星轨道半径和中心天体 半径，求天体体积时要用天体的半径R 2若行星或卫星在天 体表面附近运行，运行周期为T，则有R＝r，此时中心天体的密 度为ρ＝G3Tπ21.
求出中心天体的质量，故 A 错误；月球绕地球做匀速圆周运动，它受 到的地球的万有引力充当向心力，对月球有 GMr2m＝m4Tπ22r，可得地球 的质量 M＝4GπT2r23，其中 r 为地球与月球间的距离，即月球的轨道半径， 而不是月球本身的半径，故 B 正确，C 错误；若不考虑地球自转，地 球表面物体的重力等于万有引力，即 mg＝GMRm2 ，因此，可求出地球的
【典例】 (多选)已知引力常量G和下列各组数据，能计算
出地球质量的是( BD )
A．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离 B．月球绕地球运行的周期和轨道半径 C．月球绕地球运行的周期及月球的半径 D．若不考虑地球自转，已知地球的半径及地球表面的重力 加速度
[解析] 根据万有引力提供向心力，对地球有 GMr2m＝m4Tπ22r，其中 m 为地球质量，在等式中消去，只能求出太阳的质量 M，也就是说只能
2．若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为 r，运行周期为
T，中心天体的半径为
R，则由
GMr2m＝m
r
4π2和 T2
M＝ρ·4πR3，可 3
得ρ
＝ 3πr3 GT2R
3.
【典例】 假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫 星，卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知引 力常量为 G.
易错警示 根据轨道半径 r 和运行周期 T，求得 M＝4GπT2r23是 中心天体的质量，而不是行星或卫星的质量.
要点二 天体密度的计算方法
根据密度公式ρ＝
M 43πR3
，只要求出天体的质量和半径就可以
代入此式计算天体的密度．
1．利用天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密 度．
由mg＝GRM2m和M＝ρ·43πR3，可得ρ＝4π3GgR.
M＝gR
2
.
G
2．环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体
的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下：
万有引力提供 中心天体的
说明
向心力
质量
GMr2m
＝m
v2 r
GMr2m ＝m rω2
GMr2m＝m4Tπ22r
M ＝rv 2 G
M ＝r3ω2 G
M＝4GπT2r23
r 为行星(或卫星) 的轨道半径，v、 ω、T 为行星(或卫 星)的线速度、角 速度和周期
6．若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度，则可以
求出太阳的质量．( √ )
课堂互动探究
part 2
要点一 天体质量的计算方法
1．代换法
若已知天体的半径 R 和天体表面的重力加速度 g，忽略天体
自转的影响，则天体对物体的万有引力等于地球表面物体受到的
重力，得
GMRm2 ＝mg，解得天体质量为
(1)则该天体的密度是多少？ (2)若这颗卫星距该天体表面的高度为 h，测得卫星在该处做 圆周运动的周期为 T2，则该天体的密度又是多少？
[解析] 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星贴近天体表面运动时，有G
Mm R2
＝m
4π2 T21
R，解得M＝
4π2R3
GT21
根据数学知识可知天体的体积为V＝43πR3
质量 M＝RG2g，故 D 正确． [答案] BD
解决天体运动问题的关键 (1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动． (2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律． (3)利用黄金公式——“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题．
[针对训练] 若地球绕太阳公转的周期及公转轨道半径分别
为 T 和 R，月球绕地球公转的周期和公转轨道半径分别为 t 和 r，
的距离 r，可计算行星的质量 M.
知识点二 发现未知天体 (1)海王星的发现：英国剑桥大学的学生 亚当斯和法国年轻的 天文学家 勒维耶 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计 算出天王星外“新”行星的轨道.1846 年 9 月 23 日，德国的伽勒 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星． (2)1705 年，英国天文学家哈雷据万有引力定律计算出一颗 彗星的轨道，并正确预言了它的回归，这就是哈雷彗星。 海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”不仅意味着新天体 的发现，更是确立了万有引力理论的地位。 （3）其他天体的发现：近 100 年来，人们在海王星的轨道 之外又发现了 冥王星 、阋神星等几个较大的天体．
则太阳质量与地球质量之比为( A )
A.rR33Tt22
B．Rr33Tt22
C.rR23Tt23
D．Rr32Tt32
[解析]
地球绕太阳公转 G
m日m地 R2
m地
4 2R
T2
m日
4 2R3
GT 2
月球绕地球公转， G
m地m月 r2
m月
4 2r
t2
m地
4 2r3
Gt 2
m日 R3t 2 所以 m地 r3T 2
万有引力理论的成就 高一物理组
课前自主预习
part 1
球的质量（代换法）
①思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体受到的
重力等于 地球对物体的万有引力
．
②关系式：
mg
G
Mm R2
gR2 GM 黄金代换
gR2 ③结果：M＝ G ，只要知道 g、R、G 的值，就可计算出