２ ０ １ ２ 年第 １ ０ 期 பைடு நூலகம் 物理通报 大学物理教学
三阶 Ｌ ｅ ｖ ｉ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ 张量在量子力学中的应用 －
徐晓梅 李云德
（ ） ） 云南师范大学物理系 云南 昆明 ６ 云南大学物理系 云南 昆明 ６ ５ ０ ５ ０ ０ ５ ０ ０ ９ １ （ （ ） 收稿日期 ： ２ ０ １ ２－ ０ ２－ ０ ９ 摘 要： 利用 Ｌ 讨论了量子力学 中 坐 标 、 动 量 及 角 动 量 的 对 易 关 系， 给出了相关 ｅ ｖ ｉ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ 张量及其基本性质 ， －Ｃ
（ ） ７ （ ） ８ （ ） ９ （ ） １ ０
利用上述 １ 原则上可以很方便地 ０ 个基本等式 ， 处理量子力学中有关矢量 、 张量算子的点乘积 、 叉乘 对易子等联合运算 ． 学生无需看习题解答即可完 积、 ］ 成文献 ［ 中第四章的大部分习题 ． 现举例说明 ２～４ 在下边的例题证明中用到了一些 上述公式的应用 ． 简单的恒等式 ， 如ｐ 这些 ｌ ｌ ε ｐｊ ＝０， ｐ ｐｊ ＝０． ｉ ｉ＝ ｉ ｋ ｉ ｊ ｊ ）～ （ ）很 容 易 得 到 证 式子从基本 对 易 关 系 式 （ ７ １ ０ 以下我们将列举 一 些 在 量 子 力 学 习 题 中 较 难 的 明． 习题 ， 说明用 Ｌ ｅ ｖ ｉ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ张量解题的方法 ． －
Ａ ·Ｂ ＝ ∑ＡαＢα ＝ＡαＢα ＝ＡαＢβ δ α β
α＝１
３
（ Ａ ×Ｂ） α ＝ ∑εαβγＡβＢγ ＝εαβγＡβＢγ
γ＝１ β，
， 作者简介 ： 徐晓梅 （ 女， 副教授 ， 硕士生导师 ， 主要从事大学物理教学和物理教学论研究工作 ． １ ９ ６ ３ － ）
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２ ０ １ ２ 年第 １ ０ 期 物理通报 大学物理教学 证明 ： 原式左边 ＝ （ ｌ×ｐ） ｌ×ｐ） ｌ ｌ ε ε ｐγ ｐδ ＝ α（ α ＝ α γ α λ δ λ β β （ ） ｌ δ δγ δ δγ ｐγ ｐδ ＝ λ δ － δ λ ｌ λ β β β
该解法可帮助学生克服在量子力学学习中解此类习题的困难 ． 习题的一般解法 ． 关键词 ： Ｌ ｅ ｖ ｉ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ 张量 对易关系 算符 －Ｃ
量子力学现在已 经 发 展 成 为 现 代 高 众所周知 ， 科技的理论基础 ． 然而 ， 由于量子力学基本概念及处 理问题的方法与大家所熟悉的经典物理有较大的差 因此 ， 初学者在量子力学学习过程中会遇到许多 别， 困难 ．最常见的困 难 之 一 是 不 知 道 如 何 解 习 题 ． 尽 管为解决这个问题 ， 已出版了许多习题解答方面的 ］ 著作 ， 如比较流行的 文 献 ［ 但是由于这些解答所 １ ． 用的方法通常比较灵活 ， 学生不容易掌握 ． 我们根据 对量子力学中力学量对易关系的 多年的教学经验 ， 以期帮助学生克服解此 证明类习题给出一般 解 法 ， 类习题的困难 ．这 里 给 出 的 一 般 解 法 ， 不仅对于初 学者有用 ， 而且对于 有 一 定 基 础 的 大 学 高 年 级 学 生 以及研究生在学习高 等 量 子 力 学 时 ， 在加深对量子 力学的理 解 和 提 高 应 用 量 子 力 学 解 决 问 题 能 力 方 面， 都具有启发和益处 ． １ Ｌ ｅ ｖ ｉ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ张量的定义及其基本性质 － Ｌ ｅ ｖ ｉ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ张量为 三 阶 完 全 反 对 称 单 位 张 量 ， － ［ ２］ 其定义为 ： 其 中α ， １， ２， ３的 偶 对 换 ； ＝ ε γ 为１， ε α γ α γ＝ β β β， ， ， ， ； ， 其中α， 为 的 奇 对 换 其 中 １ ２ ３ ０ －１， γ ε ＝ α γ β β ｒ ｏ ｎ ｅ ｃ ｋ ｅ ｒ张 量 定 α， γ 中 有 两 个 以 上 指 标 相 同 ．Ｋ β， 义为 １， ｉ＝ ｊ δ ｉ ｊ＝ ０， ｉ ≠ｊ
ｒ ｒ ｌ×ｐ） ｌ×ｐ） ×（ ＋（ × ｝＝ ｛ ｒ ｒ ｘ ｘ ｌ×ｐ） ＋ （ ｌ×ｐ） ε ｛ （ ＝ ｒ ｒ｝ ｘ ｘ ＝ ε ｛ ε ｌ ｐ ＋ε ｌｐ ｒ ｒ｝
α β γ α γ β γ β β γ α γ β γ ν μ μ ν λ κ λ β κ
ε ε α γ γ ν β μ
ｘβ ｘγ ｌ ｌ ＝ ε ε ｐ ｐκ ν ＋ α γ λ κ λ μ β β ｒ ｒ
ｌ ｐ ｐ ＋４ ２ 【 】求证 ：（ 例３ ｌ×ｐ） ｌ×ｐ） ｉ ｌ ×（ ＝－ ｐ 此题只要对其中一个分量加以证明即可 ． 为此 ，
）将上述等式的左边的 一 个 分 量 写 出 来 利用公式 （ ２ 加以证明 ． （ ］ 证明 ： 原式左边 ＝ ［ ·（ ｌ×ｐ） ｌ×ｐ） α ＝ （ ） （ ） ｌ ｌ ε ε ε ε ｐδ ｐ λ δ α γ ｌ×ｐ β ｌ×ｐ γ ＝ α γ γ ν λ ν ＝ β μ β β μ （ ｌ ｌ δ δγ δ δγ ε ｐδ ｐ α δ λ － α λ δ） γ ν λ ν ＝ μ μ ｛ （ ） （ ｉ ｌ ｉ ＝ ε ε ε ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ α γ τ γ νｌ γ ｌ α － ν － αｌ γ － τ） ν｝ μ μ η η ｐ μ μ μ
２ ｌ ｉ ｌ ｉ ｌ δ ｐη ｐ ｐτ ｐ ｐ γ ν －２ ν τ α ν ＝－ α ２ 【 】求证 ： 例４ ｌ×ｐ） ｌ ＝ ｐ× （ ｐ
］中有误 （ ］ 此题在文献 ［ 详见文献 ［ ２～４ ２～４ ） 中第四章习题 １ ５ ． 证明 ： 对式中左边的第α 分量证明即可 ． ］ 原式左边 ＝ ［ ｌ×ｐ） ｐ× （ α ＝
ｌ×ｐ） ｌ ｌ －（ ε ε ｐ ×ｌ） ｐβ ｐδ ＝ α（ α ＝－ α γ α λ δ γ λ β （ ） （ ｌ ｌ ｌ ＝ δ δγ δ δγ ｐδ ＝ｐβ ｐβ －ｌ ｐγ ） δ λ － λ δ ｐ γ λ γ ｌ γ β β β β
ｉ Ｊβ ［ Ｊγ Ｊγ ， Ａλ ］ Ｊγ Ｊγ ， Ａλ ］ Ｊβ ｝ ＋［ ＝ ε α λ｛ β ｛ ［ ， ］ ［ ， ］ ｉ Ｊγ Ｊγ Ａλ ＋ Ｊγ Ａλ Ｊγ Ｊβ ＋ ε α λ Ｊ β β Ｊβ ［ Ｊγ ， Ａλ ］ Ｊγ ＋Ｊγ ［ Ｊγ ， Ａλ ］ Ｊβ ｝ ＝ ｛ ＪγＡρ ＋Ａρ Ｊγ Ｊβ ＋ＪβＡρ Ｊγ ＋ＪγＡρ Ｊβ ｝ ε －ε ＝ α λ γ λ β ρ Ｊ β ｛ ２ Ｊ Ｊ Ａ ２ Ａ Ｊ Ｊ ｉ Ｊ Ａ ε －ε α λ γ λ γ β ρ β γ ρ ＋ ρ γ β －ε ρ μ β μ ＋
（ （ ｌ ｌ ＝ ε ｐβ －ｉ ｐη ） ｐβ －ｌ ｐγ ） γ γ γ β β η （ ） （ ｌ ｌ ｌ ｉ ｌ ｌ ε ＝ ｐβ γ ｐβ － β ｐγ － ｐη γ ｐβ － β ｐγ ） γ γ β η ｝ （β ｛ （ ） ｛ （ Ａν Ｊ ２ Ｊ Ｊ Ａρ ＋２ Ａρ Ｊ Ｊ ｌ ｌ ｉ ｉ ｌ ｉ ε δ δ δ － － － ε ε ε ｐβ ｐδ ｐβ ｐη ｐτ ） ｐβ － ｉ γ ν γ α α γ） γ γ γ γ γ δ γ γ γ τ β ＝ δ β ρ β β ＋ ρ ρ － β β η η （ Ａν －ｉ ＪβＡμ ＋ｉ Ａν Ｊβ ｝ Ｊβ ＪβＡα ＋ ｌ ε ε ε ＝２ ε ＝ γ γ ν ν ｐη －ｉ ｐμ ） ｐγ ｝ ρ μ ρ β μ β β η μ
３
３ ∑ δ δ ｉ ｉ＝ ｉ ｉ＝
ｉ＝１
（ ） ３
在此求和惯例下 Ｌ ｅ ｖ ｉ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ张量所满足的关系 － 可简写为 ６ ε ε α γ α γ ＝ β β ２ ε ε δγ α γ α λ ＝ λ β β （ ） ４ （ ） ５ （ ） ６
ε ε δ δγ δ δγ α γ α λ δ ＝ δ － λ λ δ β β β 量子力学中坐标 、 动量 、 角动量的基本对易关系 可简写为
２ ２
２ ２
ｒ ｒ ｌ ｌ×ｐ） ｌ×ｐ） ｉ ×（ ＋（ × ＝２ ｒ ｒ ｒ 证明 ： 对式中左边的第α 分量证明即可 ．
原式左边 ＝
（）
ｌ ｌ ｉ ｌ ｌ ｌ ε ε ε ε ｐα ｐ ｐη ｐ ｐγ ｐ γ ν γ ν － γ ν α γ ν － γ ν α ν ＋ μ μ μ μ η μ μ · ｉ ｌ ｉ ｌ ｉ ε ε （ δγ δ δγ δ ｐτ ｐ ｐα ｐ γ ν γ τ α ν ＝ ν ν ＋ α ν ν α） μ μ η － η
２ ２ （β ｌ ｌ ｌ ｌ ε ｐγ ｐγ ＝ ｐγ －ｉ ｐη ） ｐγ ＝ ｐ γ β β β ｌ β η 【 】求证 ： （ ） ） 例２ ·（ ｌ ｌ － ｐ× ×ｐ ＝ ２ ２ ２ ２ ｌ ｐ ＋４ ｐ 此题的证 明 方 法 与 例 １ 相 似 ． 在中间的运算过
原式左边 ＝ ［ ［ ］ ［ ］ Ｊ２ ， Ｊ２ ， Ａα ］ Ｊ２ ， Ｊβ Ｊβ ， Ａα ］ ＝［ ＝ ２ ２ ［ ］ ［ ］ Ｊβ ［ Ｊ ， Ｊβ ， Ａα ］ Ｊ ， Ｊβ ， Ａα ］ Ｊβ ＝ ＋［
程中 ， 为了得到与右 边 相 同 的 形 式 而 多 次 利 用 了 动 ） 量 －角动量的对易关系式 （ １ ０ ． ·（ 证明 ： 原式左边 ＝－ （ ｌ×ｐ） ＝ ｐ ×ｌ）
ｘα ， ｉ ［ δ ＝ ｐβ ］ α β ］ ｉ ｌ ｌ ｌ ［ ε α， α γ γ β β ＝ ｌ ｘβ ］ ｉ ｘγ ＝ ［ ε α， α γ β ｌ ｉ ＝ ［ ε ｐβ ］ ｐγ α， α γ β
２ Ｌ ｅ ｖ ｉ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ张量的应用举例 －
２ ２ ２ 【 】求证 ： （ 例１ ｌ×ｐ） ｌ ＝ ｐ
｛
在下面的讨论中采用下列求和约定
３
）写成第α 分 先把式中左边的算子利用公式 （ １ （ ） １ （ ） ２ ）将 叉 乘 积 用 Ｌ 量形式 ； 然后利用公式（ ２ ｅ ｖ ｉ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ － ）把 Ｌ 张量展开 ； 最后再利用公式（ ６ ｅ ｖ ｉ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ张 量 － 表示成 Ｋ 化简即可得到证明 ． ｒ ｏ ｎ ｅ ｃ ｋ ｅ ｒ张量 ，