l
l
l
N al 0 l
E lal 0 l
[lnlnBB.E.E
lNal[lEn(]l
精l 品a课la)件llnlnalla]l
al
l
0
33
…… ……
即：能级1上有a1个粒子， 能级2上有a2个粒
子，……。
精品课件
l
al
2
a2
1
a17 1
1、玻耳兹曼系统εl 上的ωl 个量子态时，第一个粒
子可以占据ω 个量子态中的任何一个态，有ωl 种可能的
占据方式。由于每个量子态能够容纳的粒子数不受限制，在第 一个粒子占据了某一个量子态以后，第二个粒子仍然有ωl种
的占据方式，这样al 个编了号的粒子占据ωl个la量l 子态共有
种可能的占据方式，
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18
(2) 各个能级都考虑在内，系统总的占据方式数:
al l
l
(3) 现在考虑将N个粒子互相交换，不管是否在同一能级上，交换
数是N!，在这个交换中应该除去在同一能级上al 个粒子的交换al !
因此得因子
N!/ al!
A
A AA
⑤⑥ A
A
AA
两个玻色子占据3个量子态有6种方式
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10
（2）费米系统：即自旋量子数为半整数的粒子组成的系统
粒子不可分辨，每个个体量子态上最多能容纳一个 粒子（费米子遵从泡利原理）。
系统由两个粒子组成（定域子）。粒子的个体量子 态有3个, 讨论系统有那些可能的微观状态
量子态1 量子态2 量子态3
❖ 微观粒子的状态杂乱无章，一个系统的力学状态也是 杂乱无章的，有很多个可能的状态，那么，每个状态 出现的概率为多少呢，与什么因素有关
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14
1、等概率原理：对于处理平衡态的孤立系 统系统，各个可能状态出现的概率是相等的 等概率原理是统计物理的一个基本假设，是 平衡态统计物理的基础。
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6.5分布和微观状态
量子态1 AB
A BAB
量子态2
AB
BA
AB
量子态3
AB
BABA
AB 1 2 3
因此，对于定域系统可有9种不同的微观状态，即 32。
一般地为 a .
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8
不可分辨的全同粒子系统(非定域系）
确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为
确定每一个体量子态上的粒子数。或：
确定了每个量子态上的粒子数就确定了系统的微观状
种可能的
（2）将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布{ al }
相应的微观状态数为：
BE
l
(l al 1)! al! (l 1)!
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23
3、 费米系统分布 { al } 包含的微观状态数：
粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容
纳一个粒子。
l al
a 相当于从 l 个量子态中选 l 个被粒子占据。
分布 al 满足条件： al N l 精品课件
all E
l
16
分布只表示每一个能级上有多少个粒子。当能级 是简并态时，一种分布包含很多种微观状态。
每一种不同的量子态的占据方式都是不同的微观 运动状态。
N 粒子系统的 能 级1, 2, , l ,
简并度 1, 2，，l ,
粒子数 a1, a2，，al ,
l
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例：系统有6个可分辨粒子，共两个能级，1=3，2=4 给定分布：a1= 4, a2=2
2 1
a2 34 42 a1
2 1
a2 a1
34 42
能级之间粒子交
换的方式数目为
6! al !
6! 2！4！
l
(4) 系统分布 {al} 包含的总微观状态数为
MB
N! al !
l
al l
，
动量为 p 的物体联系着圆频率为
，波矢为k的平
面波，并有 ,P k
粒子状态是分立(不连续）的。
粒子所处的状态叫量子态 (单粒子态)。
量子态 用一组量子数表征（如自由粒子nx, ny, nz）.
不同量子态的量子数取值不同。
量子描述单粒子的状态是确定单粒子的量子态，对于N个粒
子的系统，就是确定各个量子态上的粒子数。
1 , 1， a1,
2， ，
a2，2，，，
ll,， al,
MB
N! al!
l
lal
l
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28
2 取对数，用斯特林公式化简
MB
N! al!
l
lal
l
ln ln N! lnal! al lnl
斯特林近似公式
l
l
ln m ! m ln m m要求 m 1
ln ln N! lnal! al lnl 要求 al 1
C al l
l ! al !(l al )!
将各能级的结果相乘，得到费米系统与分布{ al }
相应的微观状态数为：
F.D.
l
l ! al!(l al)!
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24
§6.6 玻耳兹曼分布
玻尔兹曼系统 玻色系统
MB
N!
al !
l
al l
l
BE
l
(l al 1)! al! (l 1)!
l
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31
dN
l
dal 0 dE ldal 0
l
d (ln )
l
d
al
ln
l
al
=0
d (ln N E) d ln dN dE 0
l
ln
al
l
l dal
0
dal 任意，所以
ln
al
l
l
0
即
al le l
称为 麦克斯韦—玻耳兹曼分布（玻耳兹曼 系统粒子的最概然分布）。
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26
为什么提出最概然分布？
出现概率最大分布——随机现象多次呈 现的结果
当最概然分布的几率大于非概然几率很 多时，系统呈现出基本相同的状态——可以 用其表征平衡态分布
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玻耳兹曼系统粒子的最概然分布——玻耳兹曼分布。
一、玻尔兹曼分布的推导（M.B.系统）
1、 写出分布及对应的微观状态数
全同近独立粒子组成的系统，具有确定的粒子数N，
能量 E 和体积V ，系统的N个粒子分布于各个能级，设
第i能级上的粒子数为ai，则组成系统的粒子处于各能级 的情况可描述为：
能级：
1, 2 , l , l l 1,2,
粒子数： a1 , a2 , al ,
以符号al 表示 a1, a2 , al ,， 称为一个分布。
宏观态：系统的热力学状态 用少数几个宏观参量即可确定系 统的宏观态。
微观态：系统的力学状态。
确定方法：①可分辨的全同粒子系统(玻耳兹曼系统)；
②不可分辨的全同粒子系统(玻色、
费米系)
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13
确定各微观状态出现的概率就能用统计的方法 求出微观量的统计平均值，从而求出相应宏观物理量， 因此确定各微观状态出现的概率是统计物理学的基本问 题。
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统计物理基本观点：宏观性质是大量微观粒 子运动的集体表现；宏观物理量是相应微观物理量 的统计平均值。
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2
§6.1 粒子运动状态的微观描述
单粒子的状态描述：用 r 个广义坐标和 r 个广义动量，N
个粒子系统的运动状态需要 q1、q2、…qr； p1、p 2、…pr 来确定。用 q1、q2、…qr； p1、p 2、…pr
l
l
N ln N N al ln al al al ln l
l
l
l
N ln N al lnal al lnl
l
l
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29
3 拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求极值
ln N ln N al lnal al lnl
l
l
对上式做一次微分，对于极值，一次微分为零
d (ln ) (lnal d al d al ) lnl d al
l
l
l
d
al
ln
l
al
0
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30
d (ln )
l
d
al
ln
l
al
=0
由于系统确定，则还要满足约束条件：
N al l
E lal l
对上两式子做一次微分得到：
dN dal 0
l
dE ldal 0
l
上两式子乘以未定乘子得到：
dN dal 0
l
dE ldal 0
45
……
▲ 显然，粒子和粒子之间的交换 不会产生新的占据方式。
▲ 粒子和量子态之间的交换 会产生新的占据方式：
1
2
3 45
……
▲ 量子态和量子态之间的交换 不产生新的占据方式：
1
32
45
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……
22
量子态交换数 (l 1)!
粒子交换数 a l !
各种交换共有 方式。
(l al 1)! al!(l 1)!
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7
玻耳兹曼系统
(如定域系)。
粒子可以分辨, 每个个体量子态上的粒子数不受 限制. 确定系统的微观状态要求确定每个粒子所处的个体量子态。
确定了每个粒子所处的量子态就确定了系统的一个微观状态
例：设系统由A、B两个粒子组成（定域子）。粒子的个体 量子态有3个, 讨论系统有那些可能的微观状态？
① ② ③ ④ ⑤ ⑥⑦⑧⑨
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32
玻色分布和费米分布