(限时：40分钟 满分：50分)
1．(满分10分)(2012·江西高考改编)曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．
2．(满分10分)已知伸缩变换表达式为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝2x ，y ′＝1
3y ，曲线C 在此变换下变为椭圆
x ′2
4
＋y ′2
＝1，求曲线C 的方程．
3．(满分10分)已知圆M 的极坐标方程为ρ2
－42ρ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的
最大值．
4．(满分10分)(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为
直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
5．(满分10分)在极坐标系中，动点P (ρ，θ)运动时，ρ与sin 2
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫θ2＋π4成反比，动
点P 的轨迹经过点(2,0)．
(1)求动点P 的轨迹的坐标方程；
(2)将(1)中极坐标方程化为直角坐标方程，并指出轨迹是何种曲线．
答 案
[限时集训(六十六)]
1．解：将x 2
＋y 2
＝ρ2
，x ＝ρcos θ代入x 2
＋y 2
－2x ＝0得ρ2
－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.
2．解：∵⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝2x ，y ′＝1
3y ，
∴将其代入方程x ′2
4
＋y ′2
＝1，
得
2x
2
4
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13y 2
＝1， 即x 2
＋y 29＝1，故曲线C 的方程为x 2
＋y 2
9＝1.
3．解：原方程化为
ρ2－42ρ⎝
⎛⎭
⎪⎫
22cos θ＋22sin θ＋6＝0，
即ρ2
－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0. 故圆的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－4x －4y ＋6＝0. 圆心为M (2,2)，半径为 2.
故ρmax ＝|OM |＋2＝22＋2＝3 2.
4.解：在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝
2
2
＋12
－2×1×2cos π4
＝1，于是圆C 过极点，所以圆
C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
5．解：(1)设ρ＝k
sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，
∵2＝k
sin
2π4，∴k ＝1.
∴ρ＝
1
1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π22
＝21＋sin θ. (2)∵ρ＋ρsin θ＝2， ∴x 2
＋y 2
＋y ＝2.整理得
y ＝－14
x 2＋1.
∴轨迹为开口向下，顶点为(0,1)的抛物线．。