2
�
(
�
�
)
�
�
�
�
�
(ϕm 2 )r →∞ = − Hr cos θ
∂ϕ = µ0 m 2 ∂r � � B0 − iωt （ H (t ) = e ） µ0 r =a
(ϕm1 )r =a
∂ϕ = (ϕm 2 ) r = a ， µ m1 ∂r
r =a
取金属球外的磁标势 ϕ m 2 的试解为 ϕ m 2 = − Hr cos θ + 球内试解为
第六章
目录：
似稳场
习题 6.5......................................................................................................1
习题 6.5
1 试由导体内场的扩散方程及 Ohm 定律证明： 处于交变场中的导体内的电流密度 j 满足方程
i � � ∇ 2 j − μσ j = 0
�
证明： 导体内的扩散方程 ∇ E − μσ E = 0 , Ohm 定律： j = σ c E 将 Ohm 定律代入扩散方程，得: ∇ 2 j / σ c − µσ j / σ c = 0 即： ∇ 2 j − μσ j = 0
2
�
i �
�
�
(
�
)
(̇ )
� � � x × ( x × B )dv
因为交变磁场中，导体的磁矩由导体内的传导电流产生，
iω 3µσ c � 1 � � m = ∫ x × jdv = − V 2 4 µ + 2 µ0
又
∫
V
� � � � � � � � � � � � − x × ( x × B) = B ( x i x ) − ( Bi x ) x = Br 2 − B r cos θ x
而且金属圆柱体中的外磁场 B ( t = 0 ) = B0 上述的 Bessel 方程满足下列条件
� � � B0 初始条件： H (ρ, t ) |t =0 = 边界条件： H (ρ, t ) |ρ = a = 0 μ � � 2 解得 H (ρ, t ) = ez ∑ Cm J m (k mρ) exp(−k mt / ( µσ c ))
b2 cos θ , r > a r2
ϕ m1 = b1r cos θ , r ≤ a
2
球面上的边界条件化为 ab1 = − Ha + b2 a ， µ b1 = µ0 − H − 2 b2 a 对系数 b1 ， b2 ，解之得 b1 = − 所 以 金 属
(
3
)
3µ0 H µ + 2 µ0
球
b2 =
� �
因此螺线管内的磁场分布 H = ez H (ρ) exp(−iωt )
⎧0,ρ > b ⎪ J (kρ) ⎪ H (ρ) = ⎨ H 0 0 ,ρ < a ⎪ J 0 (ka) ⎪ ⎩H0 , a ≤ ρ ≤ b
再利用公式 H =
�
1+ i � � 2 eΦ × E ，其中 δ = δωμ ωμσ
�
�
i �
2 一半径为 a,电导率为 σ c ，磁导率为 μ 的无限长金属圆柱体置于一半径 b 的无限长螺线管 中， 柱轴与管轴重合。 当螺线管 （其每单位长度上的匝数为 n） 通以电流 I = I 0 exp(−iωt ) 时， 求 （1） 空间中的电磁场分布； （2） 导体中的电流分布； （3） 导体单位长度上每单位时间放出的热量 Q。 解： （1）因为螺线管和金属圆柱体都是无限长的，圆柱体外，螺线管内的磁场是均匀的， 以 管轴为 z 轴的柱坐标系中 ∇ × H = j f , ⇒ 所以 H (b > ρ > a ) = H 0 圆柱体内的磁场满足零阶 Bessel 方程
导体内的电流分布, j f = σ c E = eΦ kH 0
�
�
�
J1 (kρ) exp(−iωt ) J 0 (ka)
（3）在稳恒场中的焦耳定律 Q = I Rt ，对于交变场也适用,则导体单位长度的电阻就 是其电导率的倒数
2
1 ，所以导体单位长度单位时间放出的热量 σc
Q = I 2R
又有金属圆柱体中的电流 I = dσ ⋅ j f ， j f = σ c E ，再将（2）中的电场 E 的分布代入式中
m
4．一半径为 a ，电导率为 σ c ，磁导率为 µ 的金属球置于一均匀的变化频率较低（即
� � � � ω << c / a ）的磁场 B = B 0 exp(−iω t ) 中。求金属球内的 Foucault 电流分布与球的吸收功
率（精确到一级近似） 。 解：因为 ∇i B = ∇i µ ( M + H ) = 0 ，则 ∇i H = −∇i M = 0 （金属球内和球外） 因而可令球内外磁标势分别为 ϕ m1 (t ) 和 ϕ m 2 (t ) ，同时令 H ′ 和 B′ 是金属球内的磁场强 度和磁感应强度，以 B0 的方向为极轴 z 的方向建立球坐标系。 磁标势在球坐标系中满足方程 ∇ ϕ m = 0 ， 当 r ≠ a 时 与边界条件 (ϕ m1 ) r =0 = 有限 ，
2
所以金属球内的吸收功率为 N = N ′ =
=
3πω 2 µ 2 B0 2σ c a5 5 ( µ + 2 µ0 )
2
5．一半径为 a 的各向同性的导体球置于一均匀的周期性变化的外磁场中。求该导体球的磁 化率。 解：由第 4 题结论 j = −
�
iω 3µσ c � � x×B 2 µ + 2 µ0
̇̇ = −eE 。 6．在超导体中，电阻为零，电荷为 −e ，质量为 m 的传导电子的运动方程为 mr
设单位体积中电子的数目为 N 。
�
�
� Ne 2 � ̇ （1）证明（London 第一方程） js = E m
（2）若超导体可视为一各向同性的线性均匀介质，且其内部不存在稳恒场，证明（London 第二方程） ∇ × js = −
由∇× E = −
� � ∂ � 1 B 和 Ohm 定律，可知 ∇ × j = iω B′ ∂t σc � 3µσ c � 3µσ c � � � B 故 x × ( ∇ × j ) = iω x×B µ + 2 µ0 µ + 2µ0
即 ∇ × j = iω
�
� � � � � � � � � � − x × ( ∇ × j ) = j ( ∇i x ) − ( j i∇ ) x − j × ( ∇ × x ) − ( ∇ × j ) × x 而 � � � = 3 j − j iI − 0 − 0 = 2 j
(
)
所以 ∇ × E =
�
� iω 3µ 2B 2 µ + 2µ0
但是 显然不满足∇ × H = j 又由焦耳定律 N ′ =
�
�
1 �2 ∫V σ c j dυ ，可知金属球内的瞬时吸收功率为
N′ = ∫
= =
a
0
∫ ∫
0
π
2π
0
ω 2 9µ 2σ c B 2 r 2 sin 2 θ r 2 sin θ drdθ dϕ 2 4 ( µ + 2 µ0 )
上面一步推导显然是错误的。 所以金属球内的 Foucault 电流分布为 j = −
�
iω 3µσ c � � x×B 2 µ + 2 µ0
� � ∂B 关于此电流分布满足 ∇ × E = − ∂t � � iω 3µ � � E = j /σc = − x×B 2 µ + 2 µ0 � iω 3µ � � 证明： ⇒ ∇ × E = − ∇ × ( x × B) 2 µ + 2µ0 � iω 3µ � � � � � � � � ⇒ ∇× E = − x ∇ ⋅ B − B∇ ⋅ x − x ⋅∇B + B ⋅∇x 2 µ + 2µ0 � � � 由似稳方程 ∇ ⋅ B = 0 ，又 B 与坐标无关，所以 ∇B = 0
ˆy = 0, m ⋅ e ˆx = 0 （体现在方位角 ϕ ） 同样，可以计算得到 m ⋅ e � � � 4 3µσ c a 2 � � M = m /( π a 3 ) = iω B ez , 与B同方向 3 µ + 2µ0 10 � �
� 2 2 M 3µσ c a 2 � � a2 1 ⎛ a ⎞ 1⎛ a ⎞ π ∴ κ = � = iω B / H ′ = iωµσ c = ⎜ ⎟ i = ⎜ ⎟ exp(i ) µ + 2µ0 10 10 5 ⎝ δ ⎠ 5⎝δ ⎠ 2 H′
�
Ne 2 � B m m /( Ne 2 µ )
（3）若有一半无穷超导体，试证外场仅能透入数量级为： λL = 的深处，这里， λL 为 London 穿透深度，而 µ 是其磁导率。 证明： （1）
� � � ̇ js = − Neu = − Ner
� � ̇̇ mr = −eE
m
式中， xm = km a 是 J 0 ( x) = 0 从小到大排列的第 m 个零点
Cm ==
� � B0 又 B = μH μ 0 J 2 ( km a )
所以除去外场后金属圆柱体内的磁感强度分布为
� � 2 B(ρ, t ) = ez ∑ μCm J m (km a ) exp(−km t / ( µσ c ))
内
µ − µ0 Ha 3 µ + 2µ0
的 磁 场 强 度
� ⎛ −3µ0 H ⎞ ⎛ 3µ0 H H ′ = −∇ϕm1 = −∇ ⎜ r cos θ ⎟ = ∇ ⎜ ⎝ µ + 2 µ0 ⎠ ⎝ µ + 2 µ0 � � B′ = H ′µ = � 3µ � B µ + 2µ0