2005山东卷试题及答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 ()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么 )(B A P ⋅=()(B P A P ⋅一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的（1）2211(1)(1)i ii i -++=+-（A ）i (B) i - (C) 1 (D) 1- （2）函数1(0)xy x x-=≠的反函数的图象大致是（A ） (B) (C) (D) （3）已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是（A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)12π(B) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π(C) 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)6π(D) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)6π（4）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ (C) 1()()2x x f x a a -=+ (D) 2()2x f x ln x-=+ （5）如果(3n x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是 （A ）7 (B) 7- (C) 21 (D)21-（6）函数2110,sin(),()0.,x x x f x x e π--<<⎧=⎨≥⎩若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为（A ） 1 (B) 2-(C) 1,2- (D) 1,2（7）已知向量,a b r r ，且2,56,72,AB a b BC a b CD a b =+=-+=-u u u r u u u r u u u r r r r r r r则一定共线的（A ） Ａ、B 、D (B) A 、B 、C (C) B 、C 、D (D)A 、C 、D （8）设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075东经0120，则甲、乙两地球面距离为（A (B)6R π (C)56R π(D) 23R π （9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（A ）310 (B) 112 (C) 12 (D)1112（10）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B Ø是)A B U =U U （C （A ） 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 （11）01,a <<下列不等式一定成立的是（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> (B) (1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+(C) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+--++<-++ (D) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+---+>--+（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为 （A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D)4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上(13)2222lim(1)n n nn C C n -→∞+=+__________ (14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F,右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率e =(15)设,x y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是_______(16)已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题： ①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m θθ=r 和sin ,cos ),(,2)n θθθππ=∈r，且5m n +=r r，求cos()28θπ+的值 \(18) （本小题满分12分）袋中装有罴球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取L L 取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止ξ表示取球终止时所需的取球次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数； （Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布； （Ⅲ）求甲取到白球的概率 (19) （本小题满分12分）已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,m n R ∈0m <.（Ⅰ）求m 与n 的关系表达式; （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当[1,1]x ∈-时,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m 的取值范围(20) （本小题满分12分）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为030，AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离(21) （本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()nn f x a x a x a x =+++L ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小(22) （本小题满分14分）已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标2005山东卷试题及答案1参考答案（13）32（14 （15）()2,3） （16）③④ (17)（本小题满分12分）考查知识点：（三角和向量相结合） 解法一：(cos sin sin ),m n θθθθ+=-+r rm n +=r r===由已知5m n +=rr，得7cos()425πθ+= 又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+-所以 216cos ()2825θπ+= ∵ 592,8288πθπππθπ<<∴<+<∴ cos()285θπ+=解法二：2222m n m m n n +=+⋅+r r r r r r22||||2m n m n =++⋅r r r r222[cos sin )sin cos ]θθθθ=+++4sin )θθ=+-4(1cos())4πθ=++28cos ()28θπ=+由已知5m n +=r r，得 4|cos()|285θπ+=∵ 592,8288πθπππθπ<<∴<+<，∴ cos()028θπ+< ∴ cos()285θπ+=(18) （本小题满分12分）（考查知识点：概率及分布列） 解：（１）设袋中原有n 个白球，由题意知：2271(1)(1).767762n C n n n n C --===⨯⨯ 所以(1)6n n -=，解得3(n =舍去2)n =-，即袋中原有３个白球（Ⅱ）由题意，ξ的可能妈值为１,2,3,4,5.3(1)7p ξ==: 432(2)767p ξ⨯===⨯: 4336(3)76535p ξ⨯⨯===⨯⨯ 43233(4)765435p ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯: 432131(5)7654335p ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以,取球次数ξ的分布列为：（Ⅲ）因为甲先取,所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为A ，则 ()p A P =（“1ξ=”，或“3ξ=”，或“5ξ=”）. 因为事件“1ξ=”、“3ξ=”、“5ξ=”两两互斥，所以 36122()(1)(3)(5)7353535P A P P P ξξξ==+=+==++=(19) （本小题满分12分）（考查知识点：函数结合导数） （Ⅰ）解：2()36(1)f x mx m x n '=-++.因为1x =是()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=. 所以3n m =+（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知22()36(1)363(1)(1)f x mx m x m m x x m ⎡⎤'=-+++=--+⎢⎥⎣⎦当0m <时,有211>+,当x 变化时()f x 与()f x '的变化如下表:由上表知,当0m <时,()f x 在(,1)m -∞+单调递减,在(1,1)m+单调递增, 在(1,)+∞单调递减（Ⅲ）解法一:由已知,得()3f x m '>,即22(1)20mx m x -++>.Q 0m <.∴222(1)0x m x m m-++<.即[]2122(1)0,1,1x x x m m-++<∈-. （*）设212()2(1)g x x x m m=-++,其函数图象的开口向上.由题意(*)式恒成立, ∴22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩ 434,310m m ⎧<-⎪⇒⇒-<⎨⎪-<⎩又0m <.∴403m -<< 即m 的取值范围是43m -<< 解法二：由已知,得()3f x m '>，即23(1)(1)3m x x m m ⎡⎤--+>⎢⎥⎣⎦， 0m <Q . 2(1)1(1)1x x m ⎡⎤∴--+<⎢⎥⎣⎦. (*) 01 1x =时. (*)式化为01<怛成立.0m ∴<. 02 1x ≠时[]1,1,210x x ∈-∴-≤-<Q .(*)式化为21(1)1x m x <--- ． 令1t x =-,则[)2,0t ∈-,记1()g t t t=- ,则()g t 在区间[)2,0-是单调增函数min 13()(2)222g t g ∴=-=--=--．由(*)式恒成立,必有234,23m m <-⇒-<又0m <． 304m ∴-<<．综上01、02知43m -<<(20) （本小题满分12分）(考查知识点：立体几何) 解法一：（向量法）在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系如图．由已知12,1AB AA ==，可得(0,0,0),(2,0,0),(1,0,1)A B F ． 又AD ⊥平面11AA B B ，从面BD 与平面11AA B B 所成的角即为030DBA <=又2,,1,AB AE BD AE AD =⊥==从而易得1(,(0,223E D（Ⅰ）1(,(22AE BF ==-u u u r u u u r Q cos ,AE BF AE BF AE BF∴<>=u u u r u u u r u u ur u u u r gu u u r u u u r 14-==即异面直线AE 、BF 所成的角为4（Ⅱ）易知平面1AA B 的一个法向量m =r设(,,)n x y z =r是平面BDF 的一个法向量．(2,3BD =-u u u r 由n BF n BD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u r r u u u r r 00n BF n BD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g 0203xx x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩x zy =⎧⎪⇒= 取n =r∴cos,5m nm nm n<>===r rgr rr r即平面BDF与平面1AA B所成二面角（锐角）大小为5L L L L（Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即ABu u u r在平面BDF的法向量nr上的投影的绝对值所以距离||cos,d AB AB n=<>u u u r u u u r rg||||||AB nABAB n=u uu r ru u u r gu u u rg rg||||5AB nn===u u u rrgr所以点A到平面BDF解法二：(几何法)（Ⅰ）连结11B D，过F作11B D的垂线，垂足为K，∵1BB与两底面ABCD，1111A B C D都垂直，∴11111111FB BBFK B D FB BB D BB B⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD又111AE BBAE BD AE BBB BD B⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1平面BDD因此//FK AE<∴BFK<为异面直线BF与AE所成的角连结BK，由FK⊥面11BDD B得FK BK⊥，从而BKF∆为Rt在1Rt B KF∆和111Rt B D A∆中，由11111A DFKB F B D=得111111122AD ABA DB FFKB DBD====gg又BF=∴cos4FKBFKBK<==1∴异面直线BF与AE所成的角为4（Ⅱ）由于AD⊥面tAA B由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥∴AGD<即为平面BDF与平面1AA B所成二面角的平面角且90DAG<=o，在平面1AA B中，延长BF与1AA；交于点S∵F为11A B的中点1111//,,22A F AB A F AB=，∴1A、F分别为SA、SB的中点即122SA A A AB===，∴Rt BAS∆为等腰直角三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即F、G重合易得12AG AF SB===Rt BAS∆中，AD=∴tan3ADAGDAG<===∴arctan3AGD<=即平面BDF于平面1AA B所成二面角（锐角）的大小为arctan3（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面AFD是平面BDF与平面1AA B所成二面角的平面角所在的平面∴面AFD BDF⊥面在Rt ADF∆中，由Ａ作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离由AH g DF=AD g AF，得AD AFAHDF===gB1B1所以点A 到平面BDF(21) （本小题满分12分）（考查知识点:数列）解：由已知*125()n n S S n n N +=++∈，可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a = 从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321nn a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++L 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++L从而12(1)2n f a a na '=+++L =()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯-L =()232222nn +⨯++⨯L -()12n +++L =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n n n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时，10n ->又()011211nnn nn n n n C C C C -=+=++++L ≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -(22) （本小题满分14分）（考查知识点:圆锥曲线）解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2px =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① （1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p = 由①知：224pbp k=所以2.b pk = 因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+， 即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan pb pk θ=+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭。