【点睛】 本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
2．已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2． （1）求 k 的取值范围；
（2）是否存在实数
k，使
1 x1
1 x2
＝1
成立？若存在，请求出
k
的值；若不存在，请说明
九年级数学一元二次方程单元测试卷附答案
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知 1 千克甲种苹果和 1 千克乙种苹果的
进价之和为 18 元.当销售 1 千克甲种苹果和 1 千克乙种苹果利润分别为 4 元和 2 元时,陈老
师购买 3 千克甲种苹果和 4 千克乙种苹果共用 82 元.
960 元，求 x 的值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为 10 元/千克,8 元/千克；（2） x 的值为 2 或 7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为 a 元/千克, b 元/千克.
理由．
【答案】（1）k＞﹣ 1 且 k≠0；（2）存在， k 7 2 13, 详见解析 3
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 k 的不等式，求得 k 的取值范围．
（2）利用根与系数的关系，根据
1 x1
1 x2
x2 x1 x1x2
, 即可求出 k
的值，看是否满足（1）中
4．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家 庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止 2008 年底全市汽车拥有量为 14.4 万 辆．已知 2006 年底全市汽车拥有量为 10 万辆． （1）求 2006 年底至 2008 年底我市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，要求我市到 2010 年底汽车拥有量不超过 15.464 万辆，据估计从 2008 年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%，那么每年新增汽车数 量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果 100 千克和乙种苹果 140 千克，若
将这两种苹果的售价各提高 1 元，则超市每天这两种苹果均少售出 10 千克，超市决定把这
两种苹果的售价提高 x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利
k 2 14k 3 0,
a 1,b 14, c 3,
b2 4ac 208,
k 14 4 13 7 2 13. 2
k＞ 1 且 k≠0， 3
7 2 13 0.21＞ 1 , 7 2 13＞ 1 .
3
3
∴满足条件的 k 值存在，且 k 7 2 13. ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是
解题的关键．
3．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家 庭．据某市交通部门统计，2008 年底该市汽车拥有量为 75 万辆，而截止到 2010 年底，该 市的汽车拥有量已达 108 万辆． （1）求 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到 2012 年底全市汽车拥有量不超过 125.48 万辆；另据统计，从 2011 年初起，该市此后每年报废 的 汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从 2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆． 【答案】解：（1）2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 20% （2）从 2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过 20 万辆 【解析】 【分析】 （1）设年平均增长率 x，根据等量关系“2008 年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+ 年平均增长率）”列出一元二次方程求得． （2）设从 2011 年初起每年新增汽车的数量 y，根据已知得出 2011 年报废的车辆是 2010 年底拥有量×10%，推出 2011 年底汽车拥有量是 2010 年底拥有量-2011 年报废的车辆=2010 年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010 年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（110%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得． 【详解】 解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为 x． 根据题意，得 75（1+x）2=108，则 1+x=±1.2 解得 x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为 20%． （2）设全市每年新增汽车数量为 y 万辆，则 2010 年底全市的汽车拥有量为 （108×90%+y）万辆，2011 年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆． 根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48， 解得 y≤20． 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过 20 万辆．
k 的取值范围，从而确定 k 的值是否存在．
【详解】
解：（1）由题意知，k≠0 且△＝b2﹣4ac＞0
∴b2﹣4ac＝[﹣2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）＞0，
即 4k2+8k+4﹣4k2+4k＞0，
∴12k＞﹣4
解得：k＞ 1 且 k≠0 3
（2）存在，且 k 7 2 13. 理由如下：
∵
x1
a b 18
由题得： 3a 4 4b 2 82
a 10
解之得：
b
8
答：甲、乙两种苹果的进价分别为 10 元/千克,8 元/千克
（2）由题意得： 4 x100 10x 2 x140 10x 960
解之得： x1 2 ， x2 7 经检验， x1 2 ， x2 7 均符合题意 答： x 的值为 2 或 7.
x2
2(k 1) k
,
x1x2
kLeabharlann 1, k又有 1 1 x2 x1 1, x1 x2 x1x2
x2 x1 x1x2 ,
x22 2x1x2 x12 x12 x22 ,
(x1 x2 )2 4x1x2 (x1x2 )2 ,
(2k 2)2 4k 4 (k 1)2,
k
k
k
(2k 2)2 k(4k 4) (k 1)2,