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第八章 平面解析几何
[解] (1)证明：依题意可设 AB 方程为 y＝kx＋2，代入 x2 ＝4y，得 x2＝4(kx＋2)，即 x2－4kx－8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x2＝－8. 直线 AO 的方程为 y＝xy11x；BD 的方程为 x＝x2.
x＝x2， 解得交点 D 的坐标为y＝yx1x12，
第八章 平面解析几何
第3课时 定点、定值问题
第八章 平面解析几何
考点一 定点问题 考点二 定值问题 考点三 探究存在性问题
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第八章 平面解析几何
考点一 定点问题 (2014·高考山东卷节选)已知抛物线 C：y2＝2px(p＞
0)的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的 直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有|FA| ＝|FD|，当点 A 的横坐标为 3 时，△ADF 为正三角形． (1)求 C 的方程； (2)若直线 l1∥l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E，证明直 线 AE 过定点，并求出定点坐标．
第八章 平面解析几何
法二：由A→P·A→Q＝0，知 AP⊥AQ，从而直线 PQ 与 x 轴 不垂直，故可设直线 l 的方程为 y＝kx＋t(t≠1)，
y＝kx＋t 联立x32＋y2＝1，整理得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0.
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1＋x2＝1－＋63kkt2，x1x2＝3（1＋t2－3k12）.(*) 由Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)×3(t2－1)＞0，得 3k2＞t2－1.
可得直线 AE 的方程为 y－y0＝y204－y04(x－x0)． 由 y20＝4x0， 整理可得 y＝y204－y04(x－1)， 直线 AE 恒过点 F(1，0)．
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第八章 平面解析几何
当 y20＝4 时，直线 AE 的方程为 x＝1，过点 F(1，0)， 所以直线 AE 过定点 F(1，0)． [规律方法] 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变 化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．
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第八章 平面解析几何
∴直线 l 的斜率为kkk2226＋－＋k 333－－111－＋＋－6333kkkk222＝k24－k 1， ∴直线 l 的方程为 y＝k24－k 1(x－k26＋k 3)＋kk22－＋33， 即 y＝k24－k 1x－12. ∴直线 l 过定点(0，－12)．
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代入抛物线方程得 y2＋y80y－8yb0 ＝0，
由题意Δ＝6y420 ＋3y20b＝0，得 b＝－y20.
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第八章 平面解析几何
设 E(xE，yE)，则 yE＝－y40，xE＝y420.
当 y20≠4 时，kAE＝xyEE－ －yx00＝－yy44002＋－yy4200＝y204－y04，
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第八章 平面解析几何
[解] (1)由题意知 F(p2，0)． 设 D(t，0)(t＞0)，则 FD 的中点为(p＋4 2t，0)． 因为|FA|＝|FD|，
由抛物线的定义知 3＋p2＝t－p2，
解得 t＝3＋p 或 t＝－3(舍去)． 由p＋4 2t＝3，解得 p＝2. 所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x.
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第八章 平面解析几何
由A→P·A→Q＝0，得A→P·A→Q＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝(1＋ k2)x1x2＋k(t－1)(x1＋x2)＋(t－1)2＝0. 将(*)代入，得 t＝－12， ∴直线 l 过定点(0，－12)．
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第八章 平面解析几何
考点二 定值问题 (2014·高考江西卷)如图，已知抛物线 C：x2＝4y，
过点 M(0，2)任作一直线与 C 相交于 A，B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点)．
(1)证明：动点 D 在定直线上； (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴)，与直线 y＝2 相交于 点 N1，与(1)中的定直线相交于点 N2，证明：|MN2|2－|MN1|2 为定值，并求此定值．
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第八章 平面解析几何
1.(2015·大庆市教学质量检测)已知椭圆 C：xa22＋ y2＝1(a＞1)的上顶点为 A，右焦点为 F，直线 AF 与圆 M： (x－3)2＋(y－1)2＝3 相切． (1)求椭圆 C 的方程； (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且A→P·A→Q ＝0，求证：直线 l 过定点，并求该定点的坐标．
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第八章 平面解析几何
(2)由(1)知 F(1，0)． 设 A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD＞0)． 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1， 由 xD＞0 得 xD＝x0＋2，故 D(x0＋2，0)， 故直线 AB 的斜率 kAB＝－y20. 因为直线 l1 和直线 AB 平行， 设直线 l1 的方程为 y＝－y20x＋b，
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第八章 平面解析几何
(2)法一：由A→P·A→Q＝0，知 AP⊥AQ，从而直线 AP 与坐
标轴不垂直，故可设直线 AP 的方程为 y＝kx＋1，直线 AQ
的方程为 y＝－1kx＋1.
y＝kx＋1 联立x32＋y2＝1，整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，
解得 x＝0 或 x＝1－＋63kk2，故点 P 的坐标为(1－＋63kk2，11－＋33Байду номын сангаасk22)， 同理，点 Q 的坐标为(k26＋k 3，kk22－＋33)，
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第八章 平面解析几何
解：(1)圆 M 的圆心为(3，1)，半径 r＝ 3.
由题意知 A(0，1)，F(c，0)，
直线 AF 的方程为xc＋y＝1，即 x＋cy－c＝0.
由直线
AF
与圆
M
相切，得|3＋c－c|＝ c2＋1
3，解得 c2＝2，
a2＝c2＋1＝3，
故椭圆 C 的方程为x32＋y2＝1.