ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称 性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， A1(0，－a)，A2(0，a)，
性
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
质 轴 长轴 A1A2 的长为 2a ；短轴 B1B2 的长为 2b
第5讲 椭 圆
最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定 义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理 1.椭圆的定义
在平面内与两定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)
的点的轨迹叫做 椭圆 .这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦 点间的距离叫做椭圆的 焦距 .
所以 c＝1，则 F1(－1，0)，F2(1，0)， 由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y＝±1， 把 y＝±1 代入x52＋y42＝1，得 x＝± 215，又 x＞0，
所以 x＝
215，∴P
点坐标为
215，1或
215，－1.
答案
215，1或
215，－1
考点一 椭圆的定义及其应用 【例 1】 (1)已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶
解析 (1)点 P 在线段 AN 的垂直平分线上， 故|PA|＝|PN|，又 AM 是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆. (2)设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2| ＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|， 即 P 在以 C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上， 得点 P 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1. 答案 (1)B (2)2x52 ＋1y62 ＝1
2.已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4，0)，则 m＝
()
A.2
B.3
C.4
D.9
解析 依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.选B.
答案 B
3.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率
为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3，
＝ 33.故选 D. 答案 D
5.(人教 A 选修 1－1P42A6 改编)已知点 P 是椭圆x52＋y42＝
1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为顶点 的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为________.
解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c
＞0，且 a，c 为常数：
(1)若 a＞c ，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c ，则集合 P 为线段； (3)若 a＜c ，则集合 P 为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ax22＋by22＝1(a>b>0)
规律方法 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确 认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通 常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用 定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其 面积等.
【训练1】 (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆
4.设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则 C 的离心率为( )
A.
3 6
B.13
C.12
D.
3 3
解析 在 Rt△PF2F1 中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝
30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝ 3.故 e＝22ac＝|PF|1F|＋1F|2P| F2|
解析 (1)由椭圆的方程得 a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为 F， 则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋ |BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 3. (2)由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，P→F1⊥P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9.∴b＝3. 答案 (1)C (2)3
上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点
P，则动点P的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
(2)(2016·保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆 C2 ： (x － 3)2 ＋ y2 ＝ 81 内 切 的 动 圆 圆 心 P 的 轨 迹 方 程 为
________.
则 C 的方程为( A )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1 C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
解析 由椭圆的定义可知△AF1B 的周长为 4a，所以 4a＝4 3，
故 a＝ 3，又由 e＝ac＝ 33，得 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝2， 则 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 A.
点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，
则△ABC 的周长是( )
A.2 3
B.6
C.4 3
D.12
(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，
P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为 9， 则 b＝________.
焦距
离心 率
a，b，c 的关系
|F1F2|＝ 2c e＝ac∈ (0，1) c2＝ a2－b2
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨 迹是椭圆.( × ) (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( × ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.( √ ) (4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭 圆.( √ ) (5)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相同.( √ )