故得：
si(r n 4d 4f 2 r3d 3f 3 r2d 2f 3 rd 3 ff) 0
r4 d4r d3r d2r dr
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解变系数线性微分方程，利用欧拉方程，讲变系数微分方程变换为常系数微分方程。
r4d d 44 f r2 r3d d 33 f r3 r2d d 22 f r3 rd d fr 3 f 0
（7）、（8）式可得由解析法求得的应力分布曲线如下：
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b、有限元分析 弯曲梁材料属性
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模型参考
模型类型: 屈服强度: 张力强度: 弹性模量: 泊松比: 质量密度: 抗剪模量: 热扩张系数: 图5-3模型图
属性 名称: 线性弹性同向性 1.75e+008 N/m^2 2.9e+008 N/m^2 2.1e+011 N/m^2 0.28 7800 kg/m^3 7.9e+010 N/m^2 1.1e-005 /Kelvin
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背景
当前对弯杆，弯梁的研究拥有很大的需求，随着社会的不 断发展，更新的结构更复杂的机械应用情况也随着增多。许多 情况下，我们为了更美观、更实用等因素需要用到弯杆、弯梁 的结构。所以针对弯杆弯梁的受力分析机选就显得格外重要。 弯杆弯梁结构有着广泛的应用，例如火车翻车机的结构、过山 车的轨道中、钢材构建的圆形屋顶梁等。当机械、建筑等中存 在着弯杆、弯梁结构时，我们有时候需要考虑其上的受力情况 ，需要对其进行受力分析，这就是我们此次项目的研究目的所 在。本次项目我们将从简单情况分析曲杆在只受水平压力情况 下的受力变形情况分析。
解得D=1 ，1，3，-1
f(x ) A 3 x eBx e Cx xD e xe
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得 :f(r)A3 rB r Clr n rD r
故应力函数为：
(A3rB rClrn rD )sin
r
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3.应力分量:
r1 r rr 1 2 2 2(2A r C r2 rD 3)sin r22(6A rC r2 rD 3)sin
的试件进行建模和分析，具体的分析内容包括试件上各点的应 力应变及位移情况，所选定曲线上的应力应变及位移分布图像 试件具体的形变过程录制等。最后将解析解法所得结果与有限 元分析结果进行比，分析误差。
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题目求解
a、解析法求解
1.选取应力函数，由于任意截面弯矩与sinθ 成正比，正应力与弯矩成正比，又由于
a
Psin(3ra2
b2 r
ar2b 3 2 )
(a2 b2)(a2 b2)lnb
a
r
Pcos(ra2
b2 r
ar2b 3 2 )
(a2 b2)(a2 b2)lnb
a
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解析法结果数据处理 将构件具体数据,即P=1000N,a=250mm,b=320mm,E=210GPa,μ=0.28，代入6.1中所得结果（6）、
r r(1 r ) (2 A C r r 2 r D 3)c os
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4.利用边界条件确定常数：
在内、外曲面上（r=a、b）；
代入上式得 r
r
0
C 2D
2Aa a
a3
0
（1）
2AbCb2bD 3 0 （2）
在左、右端面上（ ）； 0,
ba(r)0drP
A (b 2 a 2) C ln b aD b a 22 b a 22P（3）
令 rex,lnrx,drr dx
d d fr D ,d d 2 f2 fr D 2f,d d 33 f rD 3f,d d 44 fr D 4f
r2D 2fD (D1)f
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代入得：
D ( D 1 ) D 2 ) ( D 3 ) ( 2 D ( D 1 ) D 2 ) ( 3 D ( D 1 ) 3 D 3 0 D 4 4 D 3 2 D 2 4 D 3 0 (D 1 )D (3)D (21 )0
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解（1）（2）（3）式联立方程组求得：
Pa2b2 D
2[(a2b2)(a2b2)lnb] a
C
P(a2 b2)(a2 b2)(a2 b2)nbaAP
2[(a2b2)(a2b2)lnb]
a
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5.应力公式：
r
Psin(r a2
b2 r
ar2b 32 )
(a2 b2)(a2 b2)lnb
1.解析法 根据题目所提供条件及构件的形状特点，我们采用部分
逆解法进行解析计算，解题大致可分为如下几步： 1、根据条件设定应力函数 2、利用相容方程，求出函数表达式 3、利用边界条件求出常数，代入应力分量中，即可得 到问题的通解。 4、代入具体数据绘制选定曲线上的应力分布曲线
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题目分析
2.有限元解法 利用ANSYS及solideworks等软件的有限元分析功能对题目中
分析结果 Page 19
有限元分析过程
运算结果曲线图 Page 21
运算结果曲线图 平面应变分布曲线
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目录 摘要 背景 项目研究内容 题目分析 题目求解 运算结果分析 圣维南定理验证 体会与感悟 参考文献
摘要
根据同学们课上的学习的内容并结合实际应用问题， 我们小组最终选定给定条件下弯曲梁为研究对象， 主要研究其应力应变及位移情况， 并将解析法与有限元法所解的结果进行分析比较， 从而分析两种解法的具体差距及各自的特点。 并且根据项目项目要求我们运用有限元法结合 三维软件的有限元分析功能进行了圣维南定理验证。
,故假设r22应22 力函数为
f(r)sin (1)
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2.确定f(r)代入相容方程
4 0
2
2 (r2
1 r r
1 r2
2
2 ) f
(r)sin
sin(dd2r2f
1df f rdrr2)
4 si(d d n 4 4 f r2 rd d 3 3 f rr 3 2d d 2 2 f rr 3 3d d f r 3 4f)
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研究题目 1、研究弯曲梁在设定条件下的应力应变等情况 及解析解法与有限元解法的对比分析
一曲杆在两端受力P作用，如图所示，试求应力分量。 Page 4
2.圣维南定理的验证。
研究题目
利用机械设计中所设计减速器中低速轴，在轴两端依次施加 集中载荷、均布载荷以验证圣维南定理。
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题目分析