F ( x t ) F ( x) s ( x) s ( x t ) FT (t ) 1 F ( x) s ( x) ( x t ) s ' T的概率密度函数 fT (t ) FT (t ) s ( x)
（2）死亡率和生存率
死亡率 tqx=Pr(T(x)≤t)=Pr{(x)在t年内死亡} 生存率 tpx=Pr(T(x)＞t)=Pr{(x)至少存活t年} (注)： ①tqx=Pr(T(x)≤t)=FT(t),是T(x)的分布函数, tpx=Pr(T(x)＞t)=1-FT(t)=1-tqx,是(x)的生存函数; ②xq0=Pr(T(0)≤x)=Pr(X≤x)=F(x), xp0=Pr(T(0)＞x)=Pr(X＞x)=s(x)； ③ qx=1qx=Pr(T(x)≤1)=Pr{(x)在1年内死亡}, px=1px=Pr(T(x)＞1)=Pr{(x)至少活到x+1岁} .

tu
t
qx Pr{(x)在x t岁和x t u岁之间死亡 } Pr(t T ( x) t u)
qx t 1 qx Pr{(x)在x t岁和x t 1岁之间死亡 } Pr(t T ( x) t 1)
2.用生存函数表示死亡率和生存率
（1 ）
e 0
s ds
x
x
F ( x) 1 F ( x)
f ( x)


x
f ( s )ds
x
思考与讨论(3-1)

1.生存函数有哪些基本性质？ 2.分布函数F(x)和生存函数s(x)有什么关系？


3. px=0px？0px =？
4. xp0= F(x)？ 5.余命T(x)和取整余命K(x)有什么联系和区别？ 6.当k=0,1,2,…时，为什么 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)k+1]=Pr[k＜T(x)≤k+1]？
s( x k ) s( x k 1) s ( x)
k q x k p x q xk
3.1.5

死力(死亡力)
死亡力的概念 x 表示 (x) 的死亡力，是指当年龄 x连续变动时，在某年龄时 点上的瞬间死亡率，又称死亡密度①。
s( x) x s ( x)
E ( X ) xf ( x)dx
0

3.1.2

生存函数
s(x)=Pr(X＞x)=Pr{新生儿在x岁时仍存活},x≥0 ， s(x)=1-Pr(X≤x)=1-F(x) s(x)的基本性质：
①0≤s(x)≤1, s(0)=1，s(∞)=0； ②s(x)↓； ③s(x)一般是一个关于x的连续函数
x s ( x) 1 ,0 x 100 100
f ( x) ce , t 0,
ct
x E[T ]; (2)Var(T). 其中常数c＞0。计算 (1) e 4.设μx＋t=t, t≥0, 计算 (1)tpxμx＋t ; (2) x . e

运用死亡力表示生存函数、生存率和死亡率
s ( x) e
y dy
0

x
Hale Waihona Puke xtt px e y dy
x

e
x s ds
xs ds
0

0 t
t
fT (t )t px xt
t q x 1t p x 1 e

3.1.6
s(x)的解析表达式①
3.2.1

生命表的含义
生命表的概念



生命表，是指在封闭条件下，对一定数量的人口自出生 （或者一定年龄）至全部死亡这段时间内的生存和死亡状 态，以统计数字记录的一种统计表，又称死亡表。 生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。 在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。

生命表的种类
（1）国民生命表 （2）经验生命表 保险公司使用的是经验生命表。
（2） （3）
s ( x) s ( x t ) t qx s ( x) s( x t ) t p x 1 t q x s ( x)
s( x t ) s( x t u ) q q q p p t u x t u x t x t x t u x s ( x)
教育部、保监会推荐教材
保险精算
（第二版）
主编 主讲 李秀芳 傅安平 王静龙 曾卫
中国人民大学出版社
第3章
3.1 生命函数
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6
生命表基础
分布函数F(x) 生存函数s(x) T(x) K(x) 死力 s(x)的解析表达式 生命表的含义 生命表的内容
3.2.2
生命表的内容（四）
(10)简单平均余命①ex
1)(x)的简单平均余命，是指(x)的余命(不包括不满一年的 零数)K(x)的平均值，即(x)取整余命K(x)的平均值。 l l l 2)假定死亡者都在年初死亡，则 ex x 1 x 2 lx 3) ex E[ K ( x)] k Pr[K ( x) k ] k k px qx k k 1 px
3.2
生命表
3.2.1 3.2.2
3.1.1

分布函数
X：新生儿的未来寿命 (连续型r.v.) X的分布函数 F(x)=Pr(X≤x)=Pr{新生儿在x岁之前死亡}，x≥0 0≤F(x)≤1， F(0)=0， F(x)↑
X的概率密度函数 新生儿的平均寿命

f ( x) F ( x), x 0
(x):年龄为x岁的人（生命） r.v.T(x)=X-x:(x)的剩余寿命(未来生存的时间) (注):X=T(0), F(x)=Pr(T(0)≤x),s(x)=Pr(T(0)＞x) T的分布函数 FT(t)=Pr(T(x)≤t)=Pr{(x)在t年内死亡}, t≥0 =Pr(X≤x+t|X＞x)

新生儿在x1岁和x2岁之间死亡的概率： Pr(x1＜X≤x2)＝Pr(X≤x2)-Pr(X≤x1)
=F(x2)-F(x1)=s(x1)-s(x2)
3.1.3
T(x)
1.T(x)的概念 （1）余命T(x)及其概率分布 （2）死亡率和生存率 2.用生存函数表示死亡率和生存率
（1）余命T(x)及其概率分布
tu
qx t px u qxt
3.1.4

K(x)
取整余命K(x)的概念
K(x)：(x)的余命的整年数(离散型r.v.)， K(x)=[T(x)]， K(x)=k,当k≤T(x)＜k+1,k=0,1,2,„

K(x)的概率分布
Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)＜k+1] ,k=0,1,2,„ Pr[K(x)=k]=Pr[k＜T(x)≤k+1]
qx 1 qx 2 qx n1 qx
Pr(m T ( x) m n)
} (9) m n qx :m n qx Pr{(x)在x m岁和x m n岁之间死亡
l x m l x mn d x m d x m1 d x m n1 mn1 q t qx mn x lx lx t m l x m l x m n q m p x n q x m mn x lx q Pr(m T ( x) m n) Pr( T ( x) m n) Pr( T ( x) m) mn x m n qx m q x m p x m n p x
1 x x
B x s ( x) exp[ (c 1)], B 0, c 1, x 0 ln c
B x s( x) exp[ Ax (c 1)], B 0, A B, c 1, x 0 ln c
kx s( x) exp( ), k 0, n 0, x 0 n 1
分布函数 F(x)
当x＜0 当x≥0 F(x)＝0 F(x)≥0
概率密度函数 f(x)
f(x)＝0 f(x)≥0
生存函数 s(x)
s(x)=1 s(x)≥0
死亡力 μx
μ x=0 μ x≥0
lim
x
F ( ) 1


0
f ( x)dx 1
s () 0


0
x dx
死亡年龄的概率论函数
设 T(x)=K(x)+S，且S服从[0，1)上的均匀分布，则有
x E[T ( x)] E[ K ( x) S ] E[ K ( x)] E(S ) ex 0.5 e
第3章
课外练习题(一)
1.设 。计算 (1)μx； (2)F(x)； (3)f(x)； (4)Pr(10＜X ＜ 40). q 2.如果当20≤x≤25时，μx=0.001, 估计 2 2 . 20 3.设随机变量T的概率密度函数为
t 0
x 1
(4)极限年龄：生命的最高年龄。l=0, l-1=d-1 。
3.2.2
生命表的内容（二）
(5) 死亡率qx：qx=Pr{(x)在1年内死亡} 1) qx=Pr(T(x)≤1) 2) qx＝dx/lx=(lx-lx+1)/lx ， q-1=1 (6) 生存率px：px=Pr{(x)至少活到x+1岁} 1) px=Pr(T(x)＞1) 2) px=s(x+1)/s(x)=lx+1/lx=1-qx，p-1=0 3) px+qx=1 (7) npx：npx=Pr{(x)在n年后仍然生存}=Pr(T(x)＞n) 1) p l x n p p p p n x x x 1 x2 x n 1 lx