解 ：不妨设抛物线的方程为 ，它的焦点为
由于抛物线关于x轴对称，只讨论 的情形。在 上任取一点 ，由光的反射原理及几何知识知，设T为过P的切线与x轴的交点，只需证
过P的切线方程斜率为
切线方程为
令 得T的横坐标为
，
，
，即证。
（C）不可能取极值（D）不能确定是否取极值
二．填空题（每小题3分，共15分）
1.已知 且 ，则 的定义域为
2.若 ，则
。
3.已知当 时， 与 是等价无穷小，则常数
4.若 在 上连续，则
5.设 在点 处可导，且 ，则函数在 处的切线斜率为
三．判断并说明理由（每小题4分，共12分）。
1.设 在 的某个邻域内有定义，若 存在，则 在 处可导。
由题设 ，知 ，从而
6．应用题（7分）
汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面。这种反光镜有一个很好的光学特性，把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束，请用导数的几何意义来证明这个性质。
重庆大学高等数学（工学）课程中期试卷n
20—20 学年 第 学期
开课学院：数学与统计课程号：
！
考试日期：
考试时间：120分钟
题 号
[
一
二
三
四
五
、
六
七
八
九
十
~
总 分
得 分
,
@
>
一．单项选择题（每小题3分，共15分）
1.设 ，则 【D】
（A） （B）
~
（C） （D）
2.若函数 有 ，则当 时，该函数在 处的微分 是【D】
《
简答：不对，例如 则 在 间断，因此 在 处是不可导，但
2.若 ，则 。
简答：错，因为 ，
3.设 和 在 内有定义， 为连续函数，且 有间断点，则 必有间断点。
简答：对，因为如果 连续，于是 ，由连续函数的乘积必连续，知 连续，与假设矛盾。
~
四．计算题）
1. 。
2．]
3． 在 处具有连续的导数，且 求 。
解：
=
3.求曲线 上对应于 点处的法线方程。
解：当 时， ，切线的斜率为：
·
，法线的斜率为 ，所以法线的方程为：
4.设函数 在区间 内有定义，若当 时，恒有 ，求
解：由题设 在区间 内有定义，又 ，令 ，得到 ，又 而 ，由迫敛性定理可以知道
故
5.确定函数 在 内零点个数。
)
解： 令 当 时 ，函数单调递减；当 时 ，函数单调递增，所以函数在 取得极大值，又 ，极大值在 轴的上方。又 ， ，由零点存在定理知在 和 内 分别有一个零点.，所以 在 内有两个零点.
（A）与 等价的无穷小（B）与 同阶的无穷小
（C）比 低阶的无穷小（D）比 高阶的无穷小
3.若 ，则方程 【B】
.
（A）无实根（B）有唯一实根
（C）有三个不同实根（D）有五个不同实根
4.若 ，则 【C】
（A） （B） （C） （D）
5.设两函数 和 都在 处取得极大值，则函数 在 处【D】
…
（A）必取极大值（B）必取极小值
五．证明题
1.设函数 在区间 上二阶可导,且在 上有
求证在 上有
{
证明:任取 ,由泰勒公式
其ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ .上面两式相减得
（
于是当 时,有
即有
2、设函数 连续，在 内可导，且 ，试证明存在 使得
证明： 在 上满足拉氏中值定理的条件，由拉氏中值定理，存在 ，使得
令 ，则 与 在 满足柯西中值定理的条件，故由柯西中值定理，存在 ，使得 ，即