《动力学I 》第一章 运动学部分习题参考解答1－3 解：运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。

将运动方程对时间求导并将030=θ代入得34cos cos 22lk lk l y v ====θθθ&&938cos sin 2232lk lk y a =-==θθ&&1－6证明：质点做曲线运动,所以n t a a a +=, 设质点的速度为v ,由图可知:a a v v yn cos ==θ，所以: yv va a n =将c v y =，ρ2n v a =代入上式可得 ρc v a 3=证毕 1－7证明：因为n2a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n所以：va ⨯=3vρ 证毕1－10解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式：t v L s 0-=，并且 222x l s +=将上面两式对时间求导得： 0v s -=&，xx s s &&22= 由此解得：xsv x-=& （a ） (a)式可写成：s v x x 0-=&，将该式对时间求导得： 202v v s x x x =-=+&&&& (b) 将(a)式代入(b)式可得：3220220xlv x x v x a x -=-==&&&（负号说明滑块A 的加速度向上）1－11解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为xR x 22cos -=θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 22Rx x Rv A -=ω （c ）由于x v A &-=，（c ）式可写成：Rx R x xω=--22&，将该式两边平方可得： 222222)(x R R x x ω=-&将上式两边对时间求导可得：x x R x x R x x x &&&&&2232222)(2ω=--将上式消去x &2后，可求得：22242)(R x xR x --=ω&&由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 22242)(R x xR a A -=ω1－13解：动点：套筒A ；动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析：绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理 r e a v v v +=有：e a cos v v =ϕ，因为AB 杆平动，所以v v =a ，o vo vAxωOθAvAx ωO BvB Ra ve vr vxyoanavy vθ θxyo anatθ由此可得e cos v v =ϕ，OC 杆的角速度为OA v e =ω，ϕcos lOA =，所以l v ϕω2cos =当045=ϕ时，OC 杆上C 点速度的大小为lavl av a v C 245cos 02===ω1－15解：动点：销子M动系1：圆盘 动系2：OA 杆 定系：机座； 运动分析：绝对运动：曲线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有r1e1a1v v v +=， r2e2a2v v v +=由于动点M 的绝对速度与动系的选取无关，即a1a2v v =，由上两式可得：r1e1v v +r2e2v v += (a)将（a ）式在向在x 轴投影,可得：0r20e20e130cos 30sin 30sin v v v +-=-由此解得：s m b OM v v v /4.0)93(30cos 30sin )(30tan )(30tan 020120e1e20r2-=-=-=-=ωω 32.02e2==ωOM vs m v v v v M /529.022r 2e2a2=+==1－17解：动点：圆盘上的C 点；动系：OA 杆； 定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动（平行于O 1A 杆）； 牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理有r e a v v v += （a ）将（a ）式在垂直于O 1A 杆的轴上投影以及在O 1C 轴上投影得：0e 0a 30cos 30cos v v =，0e 0a 30sin 30sin v v =ωR v v ==a e ，ωR v v ==r a ，ωωω5.02O 1e 1===RR Av根据加速度合成定理有C a a a a a +++=r ne t e a （b ）将（b ）式在垂直于O 1A 杆的轴上投影得C a a a a -+=-0n e 0t e 0a 30sin 30cos 30sin其中：2a ωR a =，21n e 2ωR a =，r 12v a C ω=由上式解得：2t e 11232R ωα==a1－19解：由于ABM 弯杆平移，所以有M A M A a a v v ==.,取：动点：套筒M ；动系：OC 摇杆； 定系：机座； 运动分析：绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理r e a v v v +=可求得：m/s 2222e a =====ωb v v v v A M ，m /s 2er ===ωb v v ， rad/s 3345.12211===A O v A ω根据加速度合成定理C a a a a a a +++=+r n et e n a ta将上式沿C a 方向投影可得：C a a a a +-=-t en at a45sin 45cos由于221n a m/s 8==l a ω，2t e m/s 1==b a α，2r m/s 82==v a C ω，根据上式可得： 0t a 45cos 247+=a ，2t a 1rad/s 123)247(22≈+==l a α1-20解：取小环为动点，OAB 杆为动系运动分析绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。

由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示， 其中：ωωωr r OM v 260cos 0e ===根据速度合成定理： r e a v v v +=可以得到：ωωθr r v v 3260cos 60sin tan 020e a === ，ωr v v 460cos 0er== ta anaat e ane ara Ca a ve vr ve1ve2vr2vr1vxav θM O A ω B r v e v t e ara v e vr v加速度如图所示，其中：222e 260cos ωωωr r OM a ===， 2r 82ωωr v a C ==根据加速度合成定理：C a a a a ++=r e a将上式在'x 轴上投影，可得：C a a a +-=θθcos cos e a ,由此求得：2a 14ωr a =1－21解：求汽车B 相对汽车A 的速度是指以汽车 A 为参考系观察汽车B 的速度。

取：动点：汽车B ； 动系：汽车A （O x’y’）；定系：路面。

运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A 绕O 做定轴转动） 求相对速度，根据速度合成定理 r e a v v v +=将上式沿绝对速度方向投影可得：r e a v v v +-= 因此 a e r v v v += 其中：AAB B R v R v v v ===ωω,,e a ， 由此可得：m/s 9380r =+=B A A B v v R R v 求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：22r nr r m/s 78.1===BR v a a2-1 解：当摩擦系数f 足够大时，平台AB 相对地面无滑动，此时摩擦力N fF F ≤取整体为研究对象，受力如图， 系统的动量：r 2v p m =将其在x 轴上投影可得：bt m v m p x 2r 2==根据动量定理有： g m m f fF F b m t p N x)(d d 212+=≤== 即：当摩擦系数gm m bm f )(212+≥时，平台AB 的加速度为零。

当摩擦系数gm m bm f )(212+<时，平台AB 将向左滑动，此时系统的动量为：v v v p 1r 2)(m m ++=将上式在x 轴投影有：v m m bt m v m v v m p x )()()(2121r 2+-=-++-=根据动量定理有：g m m f fF F a m m b m tp N x)()(d d 21212+===+-= 由此解得平台的加速度为：fg m m bm a -+=212（方向向左）2-2 取弹簧未变形时滑块A 的位置为x 坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中F 为作用在滑块A 上的弹簧拉力。

系统的动量为：)(r 111v v v v v p ++=+=m m m m 将上式在x 轴投影： )cos (1ϕωl x m x m p x ++=&& 根据动量定理有：kx F l m x m m tp x-=-=-+=ϕωsin )(d d 211&&系统的运动微分方程为：t l m kx x m m ωωsin )(211=++&&2－4 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为vt m ρ=，提起部分的速度为v ，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为r v ，方向向下，大小为v （如图a 所示）。

（a ） (b)根据变质量质点动力学方程有：v vt t tmm t t m ρρr r )()(d d )(d d v g F v g F v ++=++=将上式在y 轴上投影有：)()()()(d d 2r v vgt t F v v g vt t F tvm+-=--=ρρρ 由于0d d =tv，所以由上式可求得：)()(2v vgt t F +=ρ。

再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：g vt l F N ρ)(-=3－5 将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。

根据变质量质点动力学方程有：'xCaaaθMOAωBr aeaOx’y’ ωe va vr vOx’y’ωn r aN Fg mg 1m Fx v r vvr vN F F g 1mg 2mxvr v g m )(t F y N F N FvN tm m t mF v g F v +++=d d d d r 船的质量为：qt m m -=0，水的阻力为v F f -=将其代入上式可得：N q m f tqt m F v g v v+-+-=-r 0d d )( 将上式在x 轴投影：)(d dv)(r 0v q fv tqt m ---=-。