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培优二次函数辅导专题训练附详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值;(3)点P(4,6).【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得;(2)作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM,先求出直线AB解析式为y=﹣x+6,设P(t,﹣12t2+2t+6),则N(t,﹣t+6),由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式,利用二次函数的性质求解可得;(3)由PH⊥OB知DH∥AO,据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,从而得出点E与点A重合,求出y=6时x的值即可得出答案.【详解】(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0),∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2),将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6,解得:a=﹣12,所以抛物线解析式为y=﹣12(x﹣6)(x+2)=﹣12x2+2x+6;(2)如图1,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,设直线AB 解析式为y=kx+b ,将点A (0,6)、B (6,0)代入,得:660b k b =⎧⎨+=⎩, 解得:16k b =-⎧⎨=⎩, 则直线AB 解析式为y=﹣x+6,设P (t ,﹣12t 2+2t+6)其中0<t <6, 则N (t ,﹣t+6), ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t , ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•(AG+BM ) =12PN•OB =12×(﹣12t 2+3t )×6 =﹣32t 2+9t =﹣32(t ﹣3)2+272, ∴当t=3时,△PAB 的面积有最大值;(3)如图2,∵PH ⊥OB 于H ,∴∠DHB=∠AOB=90°,∴DH ∥AO ,∵OA=OB=6,∴∠BDH=∠BAO=45°,∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴,∴∠DPE=90°,若△PDE 为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角,即点E 与点A 重合,则当y=6时,﹣12x 2+2x+6=6, 解得:x=0(舍)或x=4,即点P (4,6). 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等,熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2.如图1,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,且OC=3OA .点P 是抛物线上的一个动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点D ,连接PC .(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P 作PF ⊥BC 于点F ,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由. (3)当点P 在抛物线上运动时,将△CPD 沿直线CP 翻折,点D 的对应点为点Q ,试问,四边形CDPQ 是否成为菱形?如果能,请求出此时点P 的坐标,如果不能,请说明理由.【答案】(1) y=﹣234x +94x+3;(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,此时点P 的坐标为(73,256)或(173,﹣253). 【解析】试题分析: (1)利用待定系数法求二次函数的解析式;(2)设P (m ,﹣34m 2+94m+3),△PFD 的周长为L ,再利用待定系数法求直线BC 的解析式为:y=﹣34x+3,表示PD=﹣2334m m +,证明△PFD ∽△BOC ,根据周长比等于对应边的比得:=PED PD BOC BC 的周长的周长,代入得:L=﹣95(m ﹣2)2+365,求L 的最大值即可; (3)如图3,当点Q 落在y 轴上时,四边形CDPQ 是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ ,PQ=PD ,∠PCQ=∠PCD ,又知Q 落在y 轴上时,则CQ ∥PD ,由四边相等:CD=DP=PQ=QC ,得四边形CDPQ 是菱形,表示P (n ,﹣23n 4 +94n+3),则D (n ,﹣34n+3),G (0,﹣34n+3),利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论. 试题解析:(1)由OC=3OA ,有C (0,3),将A (﹣1,0),B (4,0),C (0,3)代入y=ax 2+bx+c 中,得:016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩,解得:34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩, 故抛物线的解析式为:y=﹣234x +94x+3; (2)如图2,设P (m ,﹣34m 2+94m+3),△PFD 的周长为L , ∵直线BC 经过B (4,0),C (0,3),设直线BC 的解析式为:y=kx+b ,则403k b b +=⎧⎨=⎩解得:343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为:y=﹣34x+3, 则D (m ,﹣334m +),PD=﹣2334m m +, ∵PE ⊥x 轴,PE ∥OC ,∴∠BDE=∠BCO ,∵∠BDE=∠PDF ,∴∠PDF=∠BCO ,∵∠PFD=∠BOC=90°,∴△PFD ∽△BOC , ∴=PED PD BOC BC的周长的周长, 由(1)得:OC=3,OB=4,BC=5,故△BOC 的周长=12,∴2334125m m L -+=, 即L=﹣95(m ﹣2)2+365, ∴当m=2时,L 最大=365; (3)存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,如图3,当点Q 落在y 轴上时,四边形CDPQ 是菱形,理由是:由轴对称的性质知:CD=CQ ,PQ=PD ,∠PCQ=∠PCD ,当点Q 落在y 轴上时,CQ ∥PD ,∴∠PCQ=∠CPD ,∴∠PCD=∠CPD ,∴CD=PD ,∴CD=DP=PQ=QC ,∴四边形CDPQ 是菱形,过D 作DG ⊥y 轴于点G ,设P (n ,﹣234n +94n+3),则D (n ,﹣34n+3),G (0,﹣334n +), 在Rt △CGD 中,CD 2=CG 2+GD 2=[(﹣34n+3)﹣3]2+n 2=22516n , 而|PD|=|(﹣239344n n ++ 3n ++)﹣(﹣34n+3)|=|﹣234n +3n|, ∵PD=CD ,∴﹣235344n n n +=①, ﹣235344n n n +=-②, 解方程①得:n=73或0(不符合条件,舍去),解方程②得:n=173或0(不符合条件,舍去), 当n=73时,P (73,256),如图3,当n=173时,P (173,﹣253),如图4,综上所述,存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,此时点P 的坐标为(73,256)或(173,﹣253). 点睛: 本题是二次函数的综合题,考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定,将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题,此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长,并利用相似比或勾股定理列方程解决问题.3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x 元.求:(1)房间每天的入住量y (间)关于x (元)的函数关系式;(2)该宾馆每天的房间收费p (元)关于x (元)的函数关系式;(3)该宾馆客房部每天的利润w (元)关于x (元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,w 有最大值?最大值是多少?【答案】(1)y=60-10x ;(2)z=-110x 2+40x+12000;(3)w=-110x 2+42x+10800,当每个房间的定价为每天410元时,w 有最大值,且最大值是15210元.【解析】试题分析:(1)根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10;(2)已知每天定价增加为x 元,则每天要(200+x )元.则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量;(3)支出费用为20×(60﹣10x ),则利润w =(200+x )(60﹣10x )﹣20×(60﹣10x ),利用配方法化简可求最大值.试题解析:解:(1)由题意得: y =60﹣10x (2)p =(200+x )(60﹣10x )=﹣2110x +40x +12000 (3)w =(200+x )(60﹣10x )﹣20×(60﹣10x ) =﹣2110x +42x +10800 =﹣110(x ﹣210)2+15210 当x =210时,w 有最大值.此时,x +200=410,就是说,当每个房间的定价为每天410元时,w 有最大值,且最大值是15210元.点睛:求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.本题主要考查的是二次函数的应用,难度一般.4.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (1, 0)、C (3, 0)、D (3, 4).以A 为顶点的抛物线y =ax 2+bx +c 过点C .动点P 从点A 出发,以每秒12个单位的速度沿线段AD 向点D 运动,运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥x 轴交抛物线于点M ,交AC 于点N .(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)当t为何值时,△ACM的面积最大?最大值为多少?(3)点Q从点C出发,以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动,当t为何值时,在线段PE上存在点H,使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形?【答案】(1)A(1,4);y=-x2+2x+3;(2)当t=2时,△AMC面积的最大值为1;(3)2085-或20 13.【解析】(1)由矩形的性质得到点A的坐标,由抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x -1)2+4,把点C的坐标代入即可求得a的值;(2)由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标,由A、C的坐标得到直线AC的解析式,进而得到点N的坐标,即可用关于t的式子表示MN,然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积,利用二次函数的性质即可得到当t=2时,△AMC面积的最大值为1;(3)①当点H在N点上方时,由PN=CQ,PN∥CQ,得到四边形PNCQ为平行四边形,所以当PQ=CQ时,四边形FECQ为菱形,据此得到,解得t值;②当点H在N点下方时,NH=CQ=,NQ=CQ时,四边形NHCQ为菱形,NQ2=CQ2,得:,解得t值.解:(1)由矩形的性质可得点A(1,4),∵抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,代入点C(3, 0),可得a=-1.∴y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)∵P(112t+,4),将112x t=+代入抛物线的解析式,y=-(x-1)2+4=2144t-,∴M (112t +,2144t -), 设直线AC 的解析式为,将A (1,4),C (3,0)代入,得:, 将112x t =+代入得, ∴N (112t +,), ∴MN, ∴, ∴当t =2时,△A MC 面积的最大值为1.(3)①如图1,当点H在N点上方时,∵N(112t +,),P (112t +,4), ∴P N=4—()==CQ ,又∵PN ∥CQ , ∴四边形PNCQ 为平行四边形,∴当PQ =CQ 时,四边形FECQ 为菱形,PQ 2=PD 2+DQ 2 =,∴, 整理,得240800t t -+=.解得12085t =-,22085t =+(舍去);②如图2当点H在N点下方时,NH=CQ=,NQ =CQ 时,四边形NHCQ 为菱形,NQ 2=CQ 2,得:.整理,得213728000t t -+=.()()1320400t t --=.所以12013t =,(舍去).“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题,会用顶点式求抛物线,会用两点法求直线解析式,会设点并表示三角形的面积,熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.5.如图1,抛物线经过平行四边形的顶点、、,抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点,设点的横坐标为.(1)求抛物线的解析式;(2)当何值时,的面积最大?并求最大值的立方根;(3)是否存在点使为直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)当t=时,△PEF的面积最大,其最大值为×,最大值的立方根为=;(3)存在满足条件的点P,t的值为1或【解析】试题分析:(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标,由抛物线的对称性可求得E点坐标,从而可求得直线EF的解析式,作PH⊥x轴,交直线l于点M,作FN⊥PH,则可用t表示出PM的长,从而可表示出△PEF的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值,再求其最大值的立方根即可;(3)由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况,当∠PAE=90°时,作PG⊥y轴,利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值;当∠APE=90°时,作PK⊥x 轴,AQ⊥PK,则可证得△PKE∽△AQP,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值.试题解析:(1)由题意可得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)∵A(0,3),D(2,3),∴BC=AD=2,∵B(﹣1,0),∴C(1,0),∴线段AC的中点为(,),∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,∴直线l过平行四边形的对称中心,∵A、D关于对称轴对称,∴抛物线对称轴为x=1,∴E(3,0),设直线l的解析式为y=kx+m,把E点和对称中心坐标代入可得,解得,∴直线l的解析式为y=﹣x+,联立直线l和抛物线解析式可得,解得或,∴F(﹣,),如图1,作PH⊥x轴,交l于点M,作FN⊥PH,∵P点横坐标为t,∴P(t,﹣t2+2t+3),M(t,﹣t+),∴PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+)=﹣t2+t+,∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•(FN+EH)=(﹣t2+t+)(3+)=﹣(t﹣)+×,∴当t=时,△PEF的面积最大,其最大值为×,∴最大值的立方根为=;(3)由图可知∠PEA≠90°,∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°,①当∠PAE=90°时,如图2,作PG⊥y轴,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=45°,∴∠PAG=∠APG=45°,∴PG=AG,∴t=﹣t2+2t+3﹣3,即﹣t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去),②当∠APE=90°时,如图3,作PK⊥x轴,AQ⊥PK,则PK=﹣t 2+2t+3,AQ=t ,KE=3﹣t ,PQ=﹣t 2+2t+3﹣3=﹣t 2+2t , ∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°, ∴∠PAQ=∠KPE ,且∠PKE=∠PQA , ∴△PKE ∽△AQP , ∴,即,即t 2﹣t ﹣1=0,解得t=或t=<﹣(舍去),综上可知存在满足条件的点P ,t 的值为1或.考点:二次函数综合题6.已知,抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过点A (﹣1,0)和C (0,3). (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使PA +PC 的值最小?如果存在,请求出点P 的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)设点M 在抛物线的对称轴上,当△MAC 是直角三角形时,求点M 的坐标.【答案】(1)223y x x =-++;(2)当PA PC +的值最小时,点P 的坐标为()1,2;(3)点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ,此时PA PC +取最小值,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标,由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式,利用配方法可求出抛物线的对称轴,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标;()3设点M 的坐标为()1,m ,则22CM (10)(m 3)=-+-,()22AC [01](30)10=--+-=,()22AM [11](m 0)=--+-,分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况,利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程,解之可得出m 的值,进而即可得出点M 的坐标. 【详解】解:()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中,得:{103b c c --+==,解得:{23b c ==,∴抛物线的解析式为223y x x =-++.()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ,此时PA PC +取最小值,如图1所示.当0y =时,有2230x x -++=, 解得:11x =-,23x =,∴点B 的坐标为()3,0.抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+,∴抛物线的对称轴为直线1x =.设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠, 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中, 得:{303k d d +==,解得:{13k d =-=,∴直线BC 的解析式为3y x =-+.当1x =时,32y x =-+=,∴当PA PC +的值最小时,点P 的坐标为()1,2.()3设点M 的坐标为()1,m ,则22(10)(3)CM m =-+-,()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-.分三种情况考虑:①当90AMC ∠=时,有222AC AM CM =+,即22101(3)4m m =+-++,解得:11m =,22m =,∴点M 的坐标为()1,1或()1,2;②当90ACM ∠=时,有222AM AC CM =+,即224101(3)m m +=++-,解得:83m =, ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭;③当90CAM ∠=时,有222CM AM AC =+,即221(3)410m m +-=++,解得:23m =-, ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述:当MAC 是直角三角形时,点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理,解题的关键是:()1由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线解析式;()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置;()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况,列出关于m 的方程.7.如图,已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ,与y 轴相交于点()0,5B -,对称轴为直线l ,点M 是线段AB 的中点.(1)求抛物线的表达式;(2)写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式;(3)设动点P ,Q 分别在抛物线和对称轴l 上,当以A ,P ,Q ,M 为顶点的四边形是平行四边形时,求P ,Q 两点的坐标. 【答案】(1)21452=-+-y x x ;(2)()2,1-M ,25y x =-;(3)点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1. 【解析】 【分析】(1)函数表达式为:()243y a x ==+,将点B 坐标代入上式,即可求解; (2)()4,3A 、()0,5B -,则点()2,1-M ,设直线AB 的表达式为:5y kx =-,将点A 坐标代入上式,即可求解;(3)分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解:(1)函数表达式为:()243y a x ==+, 将点B 坐标代入上式并解得:12a =-, 故抛物线的表达式为:21452=-+-y x x ; (2)()4,3A 、()0,5B -,则点()2,1-M , 设直线AB 的表达式为:5y kx =-,将点A 坐标代入上式得:345k =-,解得:2k =, 故直线AB 的表达式为:25y x =-; (3)设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭, ①当AM 是平行四边形的一条边时,点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ,同样点21,452P m m m ⎛⎫-+-⎪⎝⎭向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ,即:24m -=,214542m m s -+--=, 解得:6m =,3s =-,故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-; ②当AM 是平行四边形的对角线时, 由中点定理得:424m +=+,2131452m m s -=-+-+, 解得:2m =,1s =,故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1;故点P 、Q 的坐标分别为()6,1,()4,3-或()2,1、()4,3-,()2,1或()4,1. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,避免遗漏.8.抛物线与x 轴交于A ,B 两点(OA <OB ),与y 轴交于点C .(1)求点A ,B ,C 的坐标;(2)点P 从点O 出发,以每秒2个单位长度的速度向点B 运动,同时点E 也从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度向点C 运动,设点P 的运动时间为t 秒(0<t <2). ①过点E 作x 轴的平行线,与BC 相交于点D (如图所示),当t 为何值时,的值最小,求出这个最小值并写出此时点E ,P 的坐标;②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F ,使△EFP 为直角三角形?若存在,请直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)A (2,0),B (4,0),C (0,2);(2)①t=1时,有最小值1,此时OP=2,OE=1,∴E (0,1),P (2,0);②F (3,2),(3,7). 【解析】试题分析:(1)在抛物线的解析式中,令y=0,令x=0,解方程即可得到结果; (2)①由题意得:OP=2t ,OE=t ,通过△CDE ∽△CBO 得到,即,求得有最小值1,即可求得结果;②存在,求得抛物线的对称方程为x=3,设F(3,m),当△EFP为直角三角形时,①当∠EPF=90°时,②当∠EFP=90°时,③当∠PEF=90°时,根据勾股定理列方程即可求得结果.试题解析:(1)在抛物线的解析式中,令y=0,即,解得:,,∵OA<OB,∴A(2,0),B(4,0),在抛物线的解析式中,令x=0,得y=2,∴C(0,2);(2)①由题意得:OP=2t,OE=t,∵DE∥OB,∴△CDE∽△CBO,∴,即,∴DE=4﹣2t,∴===,∵0<t<2,始终为正数,且t=1时,有最大值1,∴t=1时,有最小值1,即t=1时,有最小值1,此时OP=2,OE=1,∴E(0,1),P(2,0);②存在,∵抛物线的对称轴方程为x=3,设F(3,m),∴,=,=,当△EFP为直角三角形时,①当∠EPF=90°时,,即,解得:m=2,②当∠EFP=90°时,,即,解得;m=0或m=1,不合题意舍去,∴当∠EFP=90°时,这种情况不存在,③当∠PEF=90°时,,即,解得:m=7,综上所述,F(3,2),(3,7).考点:1.二次函数综合题;2.动点型;3.最值问题;4.二次函数的最值;5.分类讨论;6.压轴题.9.(14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2(m>2)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x1,0),C(x2,0),且x2﹣x1=4,直线AD∥x轴,在x 轴上有一动点E(t,0)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.(1)求抛物线的解析式;(2)当0<t≤8时,求△APC面积的最大值;(3)当t>2时,是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)12;(3)t=或t=或t=14.【解析】试题分析:(1)首先利用根与系数的关系得出:,结合条件求出的值,然后把点B,C的坐标代入解析式计算即可;(2)(2)分0<t<6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论,据此即可求出三角形的最大值;(3)(3)分2<t≤6时和t>6时两种情况进行讨论,再根据三角形相似的条件,即可得解.试题解析:解:(1)由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根,∴x1+x2=8,由.解得:.∴B(2,0)、C(6,0)则4m﹣16m+4m+2=0,解得:m=,∴该抛物线解析式为:y=;.(2)可求得A(0,3)设直线AC的解析式为:y=kx+b,∵∴∴直线AC的解析式为:y=﹣x+3,要构成△APC,显然t≠6,分两种情况讨论:当0<t<6时,设直线l与AC交点为F,则:F(t,﹣),∵P(t,),∴PF=,∴S△APC=S△APF+S△CPF===,此时最大值为:,②当6≤t≤8时,设直线l与AC交点为M,则:M(t,﹣),∵P(t,),∴PM=,∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===,当t=8时,取最大值,最大值为:12,综上可知,当0<t≤8时,△APC面积的最大值为12;(3)如图,连接AB,则△AOB中,∠AOB=90°,AO=3,BO=2,Q(t,3),P(t,),①当2<t≤6时,AQ=t,PQ=,若:△AOB∽△AQP,则:,即:,∴t=0(舍),或t=,若△AOB∽△PQA,则:,即:,∴t=0(舍)或t=2(舍),②当t>6时,AQ′=t,PQ′=,若:△AOB∽△AQP,则:,即:,∴t=0(舍),或t=,若△AOB∽△PQA,则:,即:,∴t=0(舍)或t=14,∴t=或t=或t=14.考点:二次函数综合题.10.已知抛物线C1:y=ax2﹣4ax﹣5(a>0).(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;(2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.【答案】(1)(﹣1,0)或(5,0)(2)①(0,﹣5),(4,﹣5)②y=﹣ax2+4ax﹣5(3)a=或【解析】试题分析:(1)将a=1代入解析式,即可求得抛物线与x轴交点;(2)①化简抛物线解析式,即可求得两个点定点的横坐标,即可解题;②根据抛物线翻折理论即可解题;(3)根据(2)中抛物线C2解析式,分类讨论y=2或﹣2,即可解题试题解析:(1)当a=1时,抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,∴对称轴为y=2;∴当y=0时,x﹣2=3或﹣3,即x=﹣1或5;∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0)或(5,0);(2)①抛物线C1解析式为:y=ax2﹣4ax﹣5,整理得:y=ax(x﹣4)﹣5;∵当ax(x﹣4)=0时,y恒定为﹣5;∴抛物线C1一定经过两个定点(0,﹣5),(4,﹣5);②这两个点连线为y=﹣5;将抛物线C1沿y=﹣5翻折,得到抛物线C2,开口方向变了,但是对称轴没变;∴抛物线C2解析式为:y=﹣ax2+4ax﹣5,(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,则x=2时,y=2或者﹣2;当y=2时,2=﹣4a+8a﹣5,解得,a=;当y=﹣2时,﹣2=﹣4a+8a﹣5,解得,a=;∴a=或;考点:1、抛物线与x轴的交点;2、二次函数图象与几何变换。

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