4.3 辐射场和辐射矢量
对于源分布在无限大均匀空间区域中的情况，电磁场仅由源确定，如果已知源分布， 电 磁 场 可 由 式 (4-24)中 通 过 对 源 的 体 积 分 计 算 。 本 节 讨 论 式 (4-24)在 远 区 的 近 似 表 示 式 。 将 式 (4-24)重 写 如 下 ：
k2 R
j
3k R2
3 R3
(x
x ') g
y '
'g
e
y
jk
1 R
1 R
eR
k2 R
j
3k R2
3
R
3
(
y
y ') g
'g z '
e
z
jk
1 R
1 R
eR
k2 R
3k j R2
3 R3
(
z
z ') g
所以
J
(r
')
'
'g
Jx
x
'
'g
E
(r)
V
j
J
(r
')
g
J
m
(r
')
'
g
'
g
dV
'
(4-54)
在圆球坐标系中，辐射矢量可用其分量表示为
L er Lr e L e L N er N r e N e N 远 区 辐 射 电 场 式 (4-29)可 用 辐 射 矢 量 的 分 量 简 洁 的 表 示 为
E
j
4 r
e
jkr
L
N
E
j
4 r
e jkr
L
N
式中
(4-48)
H (r)
1
j
A
k 2 en E en E ' '
j en H '
gdS '
(4-49)
对于夫朗和费区的辐射场，对 R 取一级近似，并取
en H ' ' g k 2 en H er ger en E ' g jk en E er g
l
(r
')
'
gdl
'
j
et H ' gdl '
l
H (r)
蜒1
l
lm (r ') ' gdl '
j
et
l
E ' gdl '
(4-45) (4-46)
对式(4-45)的每一直角坐标分量利用斯托克斯定理将闭合线积分转化为面积分，并利用
fA f A f A 等矢量恒等式进行整理得
'
g
'
g
dV
'
(4-42)
利用矢量恒等式 ABC AC B A BC 和 ABC AC B A BC
上式变为
l
et H j
(4-43)
利用对偶原理，口径边缘线磁荷与口径电场之间的关系为
lm
et E j
(4-44)
根据式(4-25)，口径边缘线电荷与线磁荷産的电磁场为
E
(r
)
1
蜒 l
(4-35a) (4-35b) (4-35c) (4-35d)
辐射磁场与辐射电场具有以下关系
H E ;
H E
应用辐射矢量，对于夫琅和费区，矢量磁位和矢量电位表示为
A e jkr L 4 r
Am e jkr N 4 r
由式(4-34)，式(4-36)及上式可得到在远区电磁场与矢量位的关系为
')
e
r
e
jkr' e r
dV
'
同理可得辐射磁场为
(4-29)
H (r ) j e jkr
4 r
V
J
m
(r
')
J
m
(r
')
er
er
J (r ') e r
e
jkr'
e r
d
V
'
(4-30)
定义辐射矢量
L J ( r ') e jkr'er d V ' V
N J m ( r ') e jkr' er d V ' V
4
S
e jk r r '
rr'
E(r ') E(r ')
n
n
e jk r r ' rr'
dS '
(4-39a)
Ò H (r) 1
4
S
e jk r r '
r r'
H (r ') H (r ')
n
n
e jk r r ' rr'
dS '
(4-39b)
式(4-25)与式(4-39(是一致的，可以由式(4-25)导出式(4-39)。利用式(4-25)计算电磁场需 要已知封闭面 S 上的场，如果要计算口径衍射场，仍可利用前面介绍基尔霍夫近似假 设。但是由于基尔霍夫近似假设忽略了口径面以外的导体表面上的表面电流，所以计
L J ( r ') e jkr' e r d V '
V
L J ( r ') e jkr'er d V '
V
N
J
m
(r
') e
jk r' e r
d
V
'
V
N
J
m
(
r
') e jkr'er d V
'
V
(4-31) (4-32)
(4-33) (4-34)
(4-34a) (4-34b)
E(r) Ò jen H(r ')g en E(r ') ' g en E(r ') ' gdS ' S
H(r) Ò jen E(r ')g en H(r ') ' g en H(r ') ' gdS ' S
也可采用由标量基尔霍夫公式(4-10)得到的矢量基尔霍夫公式
Ò E(r) 1
E(r)
1
j
V
k2J(r ') j J m(r ')'J(r ')''
gdV '
(4-27)
如果场点在远区，即 R r r ' ? ，上式被积函数中对自由空间格林函数的运算可以
简化。
因为
'g
' e jkR 4 R
( jk
1 R
)
g
e
R
x '
'g
e
x
jk
1 R
1 R
eR
E (r)
V
j
J (r
') g
J m (r
')
'g
'g
d
V
'
H (r)
V
j J (r ') g
J m (r ')
'g
m (r
')
' g dV
'
因 J j , 式 (4 -2 4 a)可 改 写 为
(4-24a) (4-24b)
E ( r )
1 j
V
k 2 J ( r ')
第4章 波动方程的积分解
*4.1 非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解 *4.2 非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分解 4.3 辐射场与辐射矢量 4.4 口径衍射场 *4.5 电场和磁场的积分方程
背景
电磁波问题的求解，都可以归结为求解 齐次或非齐次标量或矢量波动方程。对 这类二阶偏微分方程，一般可以采用微 分法和积分法。解的表达式主要分为级 数形式和积分形式。
(4-52) (4-53)
式中闭合面的法向单位矢量 en 的正方向指向体积 V 内。在此散射问题中场源只可能存
在于两个区域，一个是 S ' 以外的区域，入射波就是由这个区域中的源产生的；另一个
是 S 面内的区域，这个区域的源産散射波。在大球面 S ' 上，被积函数中的电磁场可表
示为入射场与散射场之和，即
第 4 章 波动方程的积分解
第3章 基本波函数
*3.1 标量波函数 *#3.2 平面波，柱面波和球面波用标量基本波函数展
开 3.3 理想导电圆柱对平面波的散射 3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射 3.5 理想导电劈对柱面波的散射 3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射 3.7 理想导电圆球对平面波的散射 3.8 理想导电圆球对球面波的散射 *3.9 分层媒质上的电偶极子 *3.10 矢量波函数
那么，在口径边缘上的线电荷密度 l 与边缘侧的表面电流密度 J S 的关系为
JS en et jl
(4-41)
式中 en 为口径面的法线单位矢量，et 为口径面边缘曲线的切向单位矢量。口径表面 J S 与
口径磁场的关系为
代入式(4-41)得
JS en H
E(r
)
V
j
J
(r
')
g
J
m
(r
')
j J m ( r ') ' ' J ( r ') '