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二项分布B(n,p)
P{X k} C p (1 p)
k n k
n k
命令1：Fx=binocdf(x,n,p) 功能：计算二项分布的累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=binoinv(y, n,p) 功能：计算随机量x，使得y=P{X≤x} 命令3：X=binornd(n,p,M,N) 功能：产生M*N维符合二项分布的随机数矩阵X 命令4：Px=binopdf(x,n, p) 功能：计算试验中事件恰好发生x次的概率Px=P{X=x}
第10讲 MATLAB求解概率统计问题
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一 随机变量及其分布 i K i C N C MN 超几何分布H(n,M,N) P{ X i} K CM 命令1：Fx=hygecdf(x,M,N,K)
功能：计算超几何分布的累积概率，总共 M件产品， 其中次品N 件，抽取K件检查，计算发现次品不 多于x件的概率Fx=P{次品数X≤x}=F(x) 命令2：x=hygeinv(p,M, N,K) 功能：在已知参数M、N 、 K和p的情况下计算随 机量x，使得p=P{0≤次品数X≤x} 命令3：X=hygernd(M,N,K,m,n) 功能：在已知参数M,N ,K的情况下产生m*n维符合 超几何分布的随机数矩阵X
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Χ 2分布
k x 1 1 2 2 x e k k 密度函数：f 2 ( x) 2 2 ( ) 2 0
x0 x0
命令:chi2cdf(x, k), chi2inv(p, k),chi2pdf(x, k) chi2rnd(k,m,n)
10T分布 Nhomakorabeak 1 ( ) k 1 2 x 2 密度函数：f T ( x) (1 ) 2 k k k ( ) 2
EY= 1
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随机变量的方差 1.统计数据的方差---D=var(X,1)
功能：当X为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行 向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方 差值，应用嵌套：var(var(X))n 1 2 2 缺省1，计算： S ( x x ) i n 1 i 1 n 1 2 S ( xi x ) 2 否则计算： n i 1 2.统计数据的标准差---S=std(X,1) 功能：用法和1的解释同上 3. 一般随机变量的方差----DX=E(X2)-(EX)2 功能：用积分或级数编程计算
1 e P{ X x} 0
x
x0 x0
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均匀分布X~U(a,b) 命令1：Fx=unifcdf(x, a,b) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=unifinv(p, a,b) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=unifrnd(a,b,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=unifpdf(x, a,b) 功能：计算分布密度p(x)在x的值 补充：rand()---(0,1)均匀分布随机数
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例4设随机变量X的分布列，求期望。 X -1 0 2 3
P
1/8
1/4
3/8
1/4
程序：clear; x=[-1,0,2,3]; p=[1/8,1/4,3/8,1/4]; EX=sum(x.*p)
1.3750
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例5设随机变量X的分布密度为：
a bx 2 f ( x) 0 0 x 1 其他

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p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,'*r')；title('概率分布图'）
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例2设X~N(2,0.25) (1) 求概率P{1<X<2.5}； (2)绘制分布函数图象和分布密度图象; (3)画出区间[1.5,1.9]上的分布密度曲线下方区域。 程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)- normcdf(1,2,0.5) p = 0.8186 (2) x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5); fx= normcdf(x,2,0.5); plot(x,px,'+b');hold on; plot(x,fx,'*r');legend('正态分布函数','正态分布密度'); (3) specs=[1.5,1.9]; pp=normspec(specs,2,0.5)
FY ( y ) P{Y y} P{g ( X ) y}
g ( X ) y

f X ( x)dx f Y ( y ) dFY ( y ) / dy
据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程
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例3设随机变量X服从均匀分布U[0,1]，求Y=eX的 分布。

程序：clear; x=solve('y=exp(x)') dy=diff(x,'y') fy= 1*abs(dy)
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例6设随机变量X的分布密度为：
0.5e x f ( x) x 0 . 5 e x0 其他
求随机变量Y=|X|的期望。
程序：clear;syms x;
EY g ( x) f ( x)dx


fx1=0.5*exp(x); fx2=0.5*exp(-x); EY=int(-x*fx1,x,-inf,0) + int(x*fx2,x,0, inf)
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例8设生成一组均值为15,方差为2.52的正态分布 的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的参 数估计。

程序：clear; w=normrnd(15,2.5,50,1); 或w=15+2.5*randn(50,1); alpha=0.03; [mh,sh,mc,sc]=normfit(w,alpha) 运行一次：mh=15.1076 sh=2.4038 mc=14.3478~15.8674 sc=1.9709~3.0703
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例7设随机变量X的分布密度为：
2 cos 2 x f ( x) 0 | x |

2 其他
求随机变量X的期望和方差。
程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x))^2;
EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2) E2X=int(x^2*fx,x,-pi/2,pi/2) DX=E2X-EX^2
x0 x0
命令:fcdf(x, p,q), finv(F,p,q),fpdf(x, p,q) frnd(p,q,m,n)
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例1某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率 为0.5。这100次中正面向上的次数记为X： (1)试计算x=45的概率和x≤45的概率； (2)绘制分布函数图象和分布列图象。 程序：》clear; px=binopdf(45,100,0.5) % 计算x=45的概率 px = 0.0485 fx=binocdf(45,100,0.5) % 计算x≤45的概率 fx =0.1841 》x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,'+'); title('分布函数图')
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泊松分布X~P(λ)
P{ X k} e

命令1：Fx=poisscdf(x,lambda) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=poissinv(p, lambda) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=poissrnd(lambda,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=poisspdf(x,lambda) 功能：计算概率Px=P{X=x}
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Γ 分布
a x a 1 x e 密度函数： f ( x) (a) 0 其中( a )
x0 x0


0
x a 1e x dx
1 满足： ( a ) a( a 1), (1) 1, ( ) 2
命令:gamcdf(x, a, lambda), gaminv(p, a, lambda) gampdf(x, a,lambda), gamrnd(a, lambda,m,n)
命令:tcdf(x, k), tinv(p, k),tpdf(x, k) trnd(k,m,n)
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F分布
pq p q p pq ( 2 ) 2 1 p q 2 x 2 ( p qx) 2 密度函数：f F ( x) p q ( 2 ) ( 2 ) 0
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四 参数估计
例9设从一大批产品中抽取100个产品，经检验知 有60个一级品，求这批产品的一级品率(置信度 95%)。
x=log(y) dy=1/y fy=1/|y|
注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！
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三 随机变量的数字特征

随机变量的数学期望 1.数组的平均值---Y=mean(X)
功能：当X为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为 行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的 平均值，应用嵌套：mean(mean(X))或m=mean(X(:)) 与此类似的有：求和(sum),最大(max),最小(min)等 2.离散型随机变量的期望----EX=sum(X.*P) 功能：计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和 3.连续型随机变量的期望----EX=int(x*fx,x,a,b) 功能：用积分计算期望
且EX=3/5，求常数a,b的值。
程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x^2; EX=int(x*fx,x,0,1) EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1) F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1; [a,b]=solve(f1,f2) a=3/5,b=6/5