二元一次方程组基础知识【知识点一：二元一次方程的定义】定义：方程有两个未知数 ，并且未知数的次数都是1，像这样的方程 ，我们把它叫做二元一次方程。

把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 。

例1 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）。

A 、B 、C 、D 、例2.方程是二元一次方程，则的取值为（ ）A 、≠0B 、≠－1C 、≠1D 、≠2例3、方程●x －2y=x+5是二元一次方程，●是被污染的x 的系数，请你推断●的值，属于下列情况中的（ ）A.不可能是－1B.不可能是－2C.不可能是1D.不可能是2 【巩固练习】1、 已知下列方程组：（1）32x y y =⎧⎨=-⎩，（2）324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（4）30x y x y +=⎧⎨-=⎩，其中属于二元一次方程组的个数为（ ）A ．1 B. 2 C ． 3 D ． 4 2、 若753313=+--m n m y x是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。

3、 若方程2132 5 7m n xy --+=是二元一次方程.求m 、n 的值【知识点二：二元一次方程组的解定义】一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

例3、方程组⎩⎨⎧=+=-422y x y x 的解是（ ）A ．⎩⎨⎧==21y xB ．⎩⎨⎧==13y xC ．⎩⎨⎧-==20y xD ．⎩⎨⎧==02y x【巩固练习】1、 当1-=m x ，1+=m y 满足方程032=-+-m y x ，则=m _________.2、 下面几个数组中，哪个是方程7x+2y=19的一个解（ ）。

A 、 31x y =⎧⎨=-⎩ B 、 31x y =⎧⎨=⎩ C 、 31x y =-⎧⎨=⎩ D 、 31x y =-⎧⎨=-⎩3、 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）A ．12xy x y =⎧⎨+=⎩B ． 52313x y y x-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ C ． 20135x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ D ．5723z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩【综合练习题】 一、选择题：4、 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (23754624)x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 5、 若2x 23y 20++=－（），则的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．－3D ．32二、填空题6、 若3m 3n 1x2y 5=－－－是二元一次方程，则m =_____，n =______．7、 已知2,3x y =-⎧⎨=⎩是方程x ky 1=－的解，那么k =_______．8、 已知2x 12y 10++=－（），且2x ky 4=－，则k =_____．9、 写一个以57x y =⎧⎨=⎩为解的一个二元一次方程是_________．三、解答题10、 方程组2528x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是否满足2x y 8=－?第二讲 二元一次方程组的解法方法一：代入消元法【典型例题】例1： 用代入消元法解方程组27838100x y x y -=⎧⎨--=⎩我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。

用代入消元法解二元一次方程组的步骤：（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 【巩固练习】1、 方程x 4y 15-+=-用含y 的代数式表示，x 是（ ）A ．x 4y 15-=-B ．x 154y =-+C ．x 4y 15=+D ．x 4y 15=-+ 2、 把方程7x 2y 15-=写成用含x 的代数式表示y 的形式，得（ ）A ．x=215152715157 (7)722x x yx x B x C y D y ----===3、 用代入法解方程组252138x y x y +=-⎧⎨+=⎩较为简便的方法是（ ）A ．先把①变形B ．先把②变形C ．可先把①变形，也可先把②变形D ．把①、②同时变形 4、 将y 2x 4=--代入3x y 5-=可得（ ）A ．3x 2x 45-+=B ．3x 2x 45++=C ．3x 2x 45+-=D ．3x 2x 45--= 5、 用代入消元法解下列方程组 （1）⎩⎨⎧+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x（2）382101187x y x y +=⎧⎨-=⎩【综合训练】6、已知1331024x ax yy x by=--=⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩是方程组的解，求a、b的值．7、已知方程组43,322,x yx y+=⎧⎨+=⎩则x y-的值是（）A． 1 B．－1 C． 0 D． 28、已知31xy=⎧⎨=⎩和211xy=-⎧⎨=⎩都满足ax by7+=，则a=，b=9、已知二元一次方程组941175yxx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩的解为x a y b==，，则a b-=（）A．1 B．11 C．13 D．16方法二：加减消元法定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

例1、方程组231534m nm n+=⎧⎨+=⎩中，n的系数的特点是，所以我们只要将两式，•就可以消去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的．【方法掌握要诀】用加减法解二元一次方程组时，两个方程中同一个未知数的系数必须相同或互为相反数，•即它们的绝对值相等．当未知数的系数的符号相同时，用两式相减；当未知数的系数的符号相反时，用两式相加。

①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；•②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 【巩固练习】1、 用加减法解方程组326231x y x y +=⎧⎨+=⎩时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（ ）966961896186412(1)(2)(3)(4)462462462693x y x y x y x y x y x y x y x y +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-=+=+=⎩⎩⎩⎩ A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（3）（4） D ．（4）（1）2、 对于方程组2353433x y x y -=⎧⎨+=⎩而言，你能设法让两个方程中x 的系数相等吗？你的方法是 ；若让两个方程中y 的系数互为相反数，你的方法是 ． 3、 用加减消元法解方程组23537x y x y -=⎧⎨=+⎩正确的方法是（ ）A ．2x 5+=①②得B ．3x 12+=①②得C ．3x 75++=①②得D ．x 3y 7x 2-=-=-先将②变为③，再①③得4、 在方程组341236x y x y +=⎧⎨-=⎩中，若要消x 项，则①式乘以 得③；•②式可乘以 得④；然后再③④两式 即可． 5、 方程组356234x y x y -=⎧⎨-=⎩，②×3-①×2得（ ）A ．3y 2-=B ．4y 10+=C ．y 0=D ．7y 8=-6、方程组1325y xx y+=⎧⎨+=⎩的解是（）A．3333...2422 x x x xB C Dy y y y==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩7、用加减法解下列方程组：（1）383799215(2)(3) 274753410 x y m n x yx y m n x y+=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨-=-=+=⎩⎩⎩8、用合适的方法解下列方程组：（1）4022356515(2)(3) 322242133 y x x y x yx y x y x y=-+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=-=-=-⎩⎩⎩【提高练习】1、己知x , y , z 满足方程组求 x : y : z的值。

2、已知方程组22331x y kx y k+=⎧⎨+=-⎩的解x和y的和等于6，k=_______．3已知232x y ax y a+=⎧⎨-=⎩，求xy的值．4、如果二元一次方程组1532234ax by xax by y-==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩的解是，则a b-=⎩⎨⎧=-+=+-5472zyxzyx二元一次方程组的变脸术一、没有了大括号例1 若3a+2b=4,且2a －b=5,则（a+b ）2009的值是______.分析：由于a 、b 的值能使3a+2b=4和2a －b=5同时成立，所以只要将关于a 、b 的两个方程联立成方程组，解之即可.解：由题意，得⎩⎨⎧=-=+.52,423b a b a 解得⎩⎨⎧-==.1,2b a 所以（a+b ）2009=（2－1）2009=1.二、没有了字母例2 对于x 、y 定义一种新运算“*”：x*y=ax+by,其中a 、b 为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15，4*7=28，求1*1的值.分析：这是一道定义新运算型的阅读理解题，解题时应首先读懂新运算的含义，再利用新定义的运算构造出关于a,b 的方程组，解方程组求出a,b 的值，进而可求得1*1的值.解：由新定义的运算，可得⎩⎨⎧=+=+.2874,1553b a b a 解得⎩⎨⎧=-=.24,35b a所以1*1=a+b=－35+24=－11. 三、少了一个方程例3 若0623)1225(2=-++-+y x y x ，则2x+4y 的值是____.分析:本题表面看只有一个方程，不能求出x,y 的值，但注意到（5x+2y －12）2与623-+y x 都是非负数，而两个非负数的和等于0，则每一个非负数均为0，由此可得关于x,y 的二元一次方程组.解：由题意，得⎩⎨⎧=-+=-+.0623,01225y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.23,3y x 所以2x+4y=2×3+4×（23-）=0.四、残缺修正题例4 小明在解关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=⊗-=⊗+133,y x y x 时得到了正确结果⎩⎨⎧=⊕=.1,y x 后来发现“⊗”“ ⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出⊗、⊕ 处的值分别是( ).A ．⊗ = 1，⊕ = 1B ．⊗ = 2，⊕ = 1C ．⊗ = 1，⊕ = 2D ．⊗ = 2，⊕ = 2析解：将⎩⎨⎧=⊕=.1,y x 代入原方程组，得{3,3 1.⊕+⊗=⊕-⊗=将⊗、⊕看作未知数，解方程组，得{2,1.⊗=⊕=故应选B.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。