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▲雅可比矩阵的定义 ▲微分运动与广义速度 ▲雅可比矩阵的构造法 ▲PUMA560机器人的雅可比矩阵 ▲逆雅可比矩阵 ▲力雅可比矩阵
上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐 次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立 了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解， 建立了操作空间与关节空间的映射关系。
本章将在位移分析的基础上，进行速度分 析，研究操作空间速度与关节空间速度之间 的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。 雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空 间之间的速度线性映射关系，同时也用来表 示两空间之间力的传递关系。
oz
az
0
0
0
ddi
对于移动关节
nz
oz
T
Ji
az
0
0
0
对于转动关节
(P n)z
(
P
0)
z
T
Ji
(
P
a) nz
z
oz
az
例：PUMA560的6个关节都是转动关节，其雅可比 有6列。此处用矢量积法计算J(q)
J ( q) J1 J2
J6
ny oy ay
( (
P P
n) o)
z z
d d
x y
(
P
a) nz
z
d
z
x
oz
y
az z
简写为：
T d RT RT S(P) d
T
0
RT
其中，R是旋转矩阵
nx ox ax
R
ny
oy
a
y
.
nz oz az
S(P)为矢量P的反对称矩阵 S(P)矩阵具有以下性质：
c3 (c5d6
d4 )]}
s1 (s4 s5 d 6
d2 )
0
J1
0
0
1
c1{s2[c3c4s5d6 s3 (d6c5 d4 ) a2 ] c2[s3c4s5d6 c3 (c5d6 d4 )]}
s1{s2[c3c4
s5d
6
s3 (d6c5
d4
)
a2 ]
c2[s3c4s5d6
s1c2
[s3c4
s5d
6
c3 (d6c5
d4 )]
s1s2[c3c4s5d6
s3 (c5d6
d4 )]
J3
s2[s3c4s5d6 c3 (d6c5 d4 )] c2[c3c4s5d6 s3 (c5d6 d4 )] s1
c1
0
c1c23s4s5d6 s1c4s5d6
s1c23 s4 s5 d 6
i bi1 i
ri 1, e
仅旋转关节产生的线速度
矢量 ri1起,e 于Oi-1，止于On，所以由ωi
产生的线速度为:
ve i ri1,e
ve J Liqi
J Liqi i ri1,e
i bi1 i
J Liqi i ri1,e
JLiqi （bi1 i） ri1,e (bi1 ri1,e ) i
V J (q)q
D J (q)dq
对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵J(q) 是
6×n阶矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代表
对手爪线速度v的传递比，后三行称为方位矩阵，
代表相应的关节速度 对手q爪i 的角速度ω的传递比。
因此，可将雅可比矩阵J(q)分块，即：
Jl1 J a1
Jl2 J a1
0
S
(P)
pz
p 0
py px
.
py px 0
S(P) P , S(P) P .
T S(P) (P )T , T S(P) (P )T
RT
S
(
P)
(P (P
n)x o)x
(P a)x
(P n)y (P o)y (P a)y
( (
P P
n) o)
z z
(P a)z
c6
0
0
0
T
J6
0 0
0
1
逆雅可比矩阵
若给定机器人终端手抓的广义速度向量V， 则可由下式解出相应的关节速度：
Jl1 J a1
Jl2 J a1
q1
J J
ln a1
q2
qn
q J 1V
q 上式中， J 1 称为逆雅可比矩阵， i 为加
给对应关节伺服系统的速度输入变量。
z0
0 z0
P60
z1 0 P61 z1
z5
0 z5
P65
s1{c2 (c3c4s5d6 s3c5d6 s3d4 a2 ) s2[s3c4s5d6 c3 (c5d6 d4 )]} c1(s4s5d6 d2 )
c1{c2 (c3c4s5d6
s3c5d6
s3d4
a2 )
s2 [ s3c4 s5 d 6
上式对时间求导，有：
V
d dt
P
P qT
q
4-5
对照式4-3和式4-5，可知：
x x q1 q2
y y q1 q2
J
P qt
x
q1
x
q2
y
y
q1
z
q2
z
q1 q2
x
qn
y
qn
x
qn
y
qn
z
qn
在机器人学中，J是一个把关节速度向量 q变i 换
相应的，广义速度V的坐标变换为：
T RT RT S(P)
T
0
RT
任意两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换为：
B B
B A
R
0
B A
RT
S(A
B A
R
PBO
)
A A
4.3 雅可比矩阵的构造法
构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变 换法，雅可比矩阵J(q)既可当成是从关节空间向 操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微 分运动转换的线性关系，即：
c3
(c5d6
d4
)]}
J2
{c2 [c3c4 s5 d 6
s3 (d6c5
d4 ) a2 ] s2 (s3c4s5d6 s1
c3 (c5d6
d4 )]}
c1
0
c1c2[s3c4s5d6 c3 (d6c5 d4 )] c1s2[c3c4s5d6 s3 (c5d6 d4 )]
坐标位置向量 (x, y,的z)显T 式方程，因此，J的前三行可
以直接微分求得，但不可能找到方位向量
(x,y ,的z )一T 般表达式。找不出互相独立的、无顺序
的三个转角来描述方位．绕直角坐标轴的连续角运 动变换是不可交换的，而对角位移的微分与对角位 移的形成顺序无关，故一般不能运用直接微分法来 获得J的后三行。因此，常用构造性方法求雅可比J。
J Li bi1 ri1,e
Jai 0 J ai bi1
当第i关节为移动关节时
Jli J ai
bi 0
1
当第i关节为转动关节时
Jli
J
ai
bi1 bi1
ri1,e
b r 确定 i 1
i 1, e
1、用b表示zi-1轴上的单位向量
0 b 0
1
把它转换到基础坐标系中，即为
由于 qi i
所以 J Li bi1 ri1,e
雅可比矩阵的求解：
Jai的求法：
(1) 第i关节为移动关节时 qi di qi di
由于关节移动的平移不对手部产生角速度，所以此时
Jai 0
(2) 第i关节为转动关节时，qi i
i Jaiqi bi1 i
所以 J ai bi1
J Li bi1
线性关系称为雅可比矩阵，记为J，即：
x
y
z
x
y
J
q1
q2
qn
4-3
z
在数学上，机器人终端手抓的广义位置
（位姿）矢量P可写成：
x(q1, , qn )
y(q1
,
, qn )
P
z(q1,
, qn )
x (q1, , qn )
y (q1,
,
qn
)
z (q1, , qn )
4.1 雅可比矩阵的定义
把机器人关节速度向量 qi 定义为：
q [q1 q2
qn ]T
式中， qi (i=1, 2,..., n) 为连杆i相对i-1的角
速度或线速度。
手抓在基坐标系中的广义速度向量为：
V
[x
y
z
x
y
z ]T
式中， v为线速度，ω为角速度分量。
从关节空间速度向操作空间速度映射的
ri1,e
1
xi1,e
ri1,e
1
(px ,py ,pz ,1)T
0 A1(q1)1
A2 (q2 )...i2 Ai1(qi1)x
r 有上式可以确定 i 1, e
例2-6：建 立右图的雅 可比矩阵
机械臂末端的速度为
微分变换法
对于转动关节
0 d 0 ,
0
0
0 di
1
c1c4 s5 d 6
J4
s23 s4 s5 d 6 c1s23
s1s23
c23
c5d6 (c1c23c4 s1s4 ) c1s23s5d6
c5d6
(s1c23c4
c1s4
)
s1s23s5d6
J5
s23c4c5d6 c23s5d6 c1c23s4 s1c4
ve J Liqi