第14部分——实际应用题 试题精粹江苏省2011年高考数学联考试题11. （苏州市2011届高三调研测试）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ， 满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ 100 m （π取3.14，精确到1m ）.【解析】()120401204023200020.1mm πππ-⨯+⨯⨯=17．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分14分） 如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜． ⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．解 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． …………………………………………………………………2 设点()00,y x A ， 则a a a x 313313sin 130=⋅==β，a a a y 213213cos 130=⋅==β，即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x ma ay --=32．上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(am ama m am C -- (5))37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ (8)⑵328)3149492(314)37(949)37()(222a a a a a a m a a m a m S =+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=…………………12 Z 东 北 AB CO当且仅当)37(949372a m a a m -=-时，即a m 314=时取等号， …………………………14 18．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学2011届第一次联考）（16分）某企业有两个生产车间分别在A ．B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工，现要在公路AC 上找一点D ，修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A ．B ．C 中任意两点间的距离均是1km ，设BDC α∠=，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S .（1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；（2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程S 最少？18．解：（1）在BCD ∆中，∵()sin 60sin sin 120BD BC CDαα==︒︒-，∴32sin BD α=，()sin 120sin CD αα︒-=.则()sin 1201sin AD αα︒-=-. （6分）()3sin 120cos 42400100150503sin sin sin S ααααα︒-⎡⎤-=+-=-⎢⎥⎣⎦其中233ππα≤<. （8分）（2）()22sin sin cos 4cos 14cos 3503sin sin S ααααααα----'=-= （12分） 令0S '=，得1cos 4α=. 当1cos 4α>时，0S'<，S 是α的单调减函数；当1cos 4α<时，0S '>，S 是α的单调增函数.∴当1cos 4α=时，S 取得最小值. 此时，sin α=， （14分） ()1sin sin 12012211sin sin 2AD ααααα+︒-=-=-=111422154==-. （答略） （16分）18、（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分16分)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产n 个月的累计产量为1()(1)(21)2f n n n n =+-吨，但如果产量超过96吨，将会给环境造成危害.（1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳a 万元的环保税，已知每吨产品售价0.6万元，第n 个月的工人工资为282()155g n n n =--万元，若每月都赢利，求出a 的范围.18、解：（1）第n 个月的月产量=(1), 1()(1),,2f n f n f n n N n =⎧⎨--∈≥⎩. ……………3分11()(1)(21),(1)1,2,(1)(1)(23)22f n n n n f n f n n n n =+-∴=≥-=--当时， 2()(1)32f n f n n n ∴--=-. ……………………………………………………6分令2()(1)96,32960, 6,f n f n n n n --≤--≤≤≤16即解得：-3max , 6.n N n ∈∴= …………………………………………………………………9分（2）若每月都赢利，则23(32)()0,,65n n a g n n N n --->∈≤恒成立.即211(2),1,2,3,4,5,6,55a n n <-+=恒成立，…………………………………………12分 令2111()(2),1,2,3,4,5,6,2()(2)555h n n n n h n h =-+=∴==时最小，且…………14分所以105a<< (16)分17．（姜堰二中学情调查（三））（本小题满分14分）如图：设工地有一个吊臂长15DF m =的吊车，吊车底座FG 高1.5m ，现准备把一个底半径为3m 高2m 的圆柱形工件吊起平放到6m 高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩0.58,0.81≈≈）吊车能把工件吊上的高度y 取决于吊臂的张角θ， 由图可知，1.5 1.5sin 2tan 1.5y AB AD BC CD DF CE θθ=+=--+=--+15sin 3tan 0.5θθ=--． ……… 6分所以/2315cos cos y θθ=-，由/0y = 得cos 0.58,sin 0.81θθ=≈≈时，y 有最大值，0.81150.8130.57.46()0.58y m ≈⨯-⨯-≈ ………12分 所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m 高的桥墩上． ……… 14分 17. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）(本小题满分14分)某地区的农产品A 第x 天()201≤≤x 的销售价格650--=x p （元∕百斤），一农户在第x 天()201≤≤x 农产品A 的销售量840-+=x q （百斤）。

（1）求该农户在第7天销售农产品A 的收入； （2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？17. ⑴由已知第7天的销售价格49p =，销售量41q =. ∴第7天的销售收入749412009W =⨯= (元) . ……………………………………………………（3分）G H⑵设第x 天的销售收入为x W ，则(44)(48)1620097(56)(32)820x x x x W x x x x +-≤≤⎧⎪==⎨⎪-+≤≤⎩.…（6分）当16x ≤≤时，2(44)(48)(44)(48)()21162x x x W x x ++-=+-≤=.（当且仅当2x =时取等号）∴当2x =时取最大值22116W =.………………………………（9分）当820x ≤≤时，2(56)(32)(56)(32)()19362x x x W x x -++=-+≤=.（当且仅当12x =时取等号）∴当12x =时取最大值121936W =. …………………………（12分）由于2712W W W >>，∴第2天该农户的销售收入最大. …………………………（13分） 答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大. …………（14分） 17．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）（本题满分15分）如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数2πsin()3y A x ω=+()0,0A ω>>，[]4,0x ∈-时的图象，且图象的最高点为B （－1，2）。

赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD // EF 。

赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE ． （1）求ω的值和DOE ∠的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．解：（1）由条件，得2A =，34T =． ……………………………………………………………2分∵2πT ω=，∴π6ω=．……………………………………………………………………4分 ∴ 曲线段FBC 的解析式为π2π2sin()63y x =+．当x =0时，3y OC ==．又CD =3，∴ππ44COD DOE ∠=∠=，即．……………7分（2）由（1），可知6OD =．又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故OP……………8分设POEθ∠=，π4θ<≤，“矩形草坪”的面积为)()26sin cos sinSθθθθθθ==-=111π6(sin2cos2))32224θθθ+-=+-． (13)分∵π4θ<≤，故πππ2=428Sθθ+=当时，时，取得最大值．………………………15分18、（南通市六所省重点高中联考试卷）（本题满分15分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系tx2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0ty=（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？解：(1)乙方的实际年利润为：sttw-=20000≥t．sstssttw221000)1000(2000+--=-=，当21000⎪⎭⎫⎝⎛=st时，w取得最大值．所以乙方取得最大年利润的年产量21000⎪⎭⎫⎝⎛=st(吨)．………………7分(2)设甲方净收入为v元，则2002.0tstv-=．将21000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 代入上式，得：432100021000ss v ⨯-=． 又令0='v ，得20=s ．当20<s 时，0>'v ；当20>s 时，0<'v ，所以20=s 时，v 取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格20=s (元／吨)时，获最大净收入．………………15分19. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）（本小题满分16分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD 和曲线EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG ，MK ，且以MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线EF 的方程是200(0)xy x =>，设点M 的坐标为(,)s t ．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度） （1）求三角形观光平台MGK 面积的最小值；（2）若要使MGK ∆的面积不小于320平方米，求t 的范围．讲评建议：此题当初（1）是求SK TG +的最小值， 但两问题过于孤单，且不好设问题，另外量太大了， 两个模型。