数学的基础研究一、基本概述数学基础（Foundation of Mathematics）是研究整个数学的理论基础及其相关问题的一个专门学科，即研究数学的基础，回答“数学是什么？”，“数学的基础是什么？”，“数学是否和谐？”等等一些数学上的根本问题的学科。

对于数学基础的关注和研究，可追溯至古代。

但在较长的历史阶段中，只限于对单科数学分支基础的讨论.至于作为整个数学理论基础的探索，尤其是“数学基础”作为一门专门学科的形成和诞生，乃是20世纪初的事.当时也是由于多种因素和研究活动的汇合，尤其是在作为整个经典数学之理论基础的集合论中出现悖论之后，才把数学基础问题的研究推向高潮，并进一步促进了数学哲学的发展，直至最终成为20世纪数学领域中深入的研究活动之一。

数学的基础研究的由来要追溯到数学的三次危机，正是三次数学危机的产物，使得数学的基础一步一步的浮出水面，虽然至今也无法给数学的基础下一个确切的定义，但不可否认的是在三次数学危机中产生了一系列重要的数学定义以及数学公理、定理，无疑都推动了数学的发展。

在数学研究的历史中，形成了诸多流派，其中有代表性的有三大流派，具体内容文章中会具体说明，每一个流派都有其代表性的成绩，这也使得数学的基础内容更加丰富，研究数学的基础，能让我们感知数学历史发展的魅力，形成数学严密的逻辑思维能力，可以说数学知识是牵一发而动全身，数学的基础研究在数学研究的历史中地位极其重要。

二、三次数学危机1、第一次数学危机第一次是公元前5世纪毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现不可共度线段：正方形的一边与其对角线不可公度，即发现不是有理数。

这次危机导致无理数及几何公理系统的建立——欧几里得几何原本诞生。

尽管原本还不是严格的公理系统，但它充分表明直观、经验不可全信，几千年来对几何学的研究，特别是后来对非欧几何的研究促使几何学走向严格的公理化。

严格公理化的几何就是几何基础也是数学基础的一部分。

在第一次数学危机中产生了亚里士多德的古典逻辑、欧式几何学《几何原本》以及非欧几何，这些重要的数学理论和著作都为数学的研究作出了巨大的贡献。

2、第二次数学危机⑴17世纪后半期I.牛顿和G.W.莱布尼兹创立了微积分学，但他们对无穷小的解释很难令人满意，英国主教G.贝克莱抨击当时的微积分，指出它在逻辑上有明显的问题，这便是第二次数学危机。

这次危机的出现使数学家们意识到不为微积分建立牢固的基础，只进行运算是不行的。

19世纪A.L柯西、K.魏尔斯特拉斯等创立了极限论，以极限为基础建立微积分学。

A.鲁宾孙于1960年创立了非标准分析，把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域，圆满解决了“无穷小的矛盾”问题。

与此同时，传统逻辑发展为数理逻辑。

数理逻辑是数学基础的重要内容。

⑵芝诺悖论：第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。

第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。

因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。

这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。

第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。

第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。

这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。

当然他们无法解决这些矛盾。

⑶微积分的产生：到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。

经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。

牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。

他们的功绩主要在于：①.把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；②.有明确的计算微分法的步骤；③.微分法和积分法互为逆运算。

3、第三次数学危机数学上的第三次危机一般认为始于1902年B.A.W.罗素发现的悖论，后人称这个悖论为罗素悖论：以S表示所有不以自身为元素的集合的全体。

按照集合论的概括原则（构成集合的原则），S应该是一个集合。

问S是否是S的一个元素？如果S∈S，则按照S的定义应有S不属于S；如果S不属于S，则按S的定义又应有S∈S。

无论哪种情况都导致矛盾。

罗素悖论动摇了集合论，也动摇了当时的数学基础。

因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。

这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。

这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。

数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。

罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。

19世纪，数学的各个分支都得到了迅速的发展，亟待建立一种能以统括各个数学分支的理论基础。

这时康托尔系统地总结了长期以来数学的认识与实践，缔造了一门崭新的数学学科，即集合论。

由于集合论的思想方法渗透到各个数学分支，同时从集合论的基本概念和思想规定出发，能导出整个经典数学，因此，大家公认集合论可以作为整个经典数学诸分支学科的共同的理论基础。

4、三次数学危机对于自我的启示在这三次数学危机中，我看到数学与哲学——无论是个人的哲学还是时代的哲学之间存在着千丝万缕的联系。

正如哲学上说的：“世界观决定方法论。

”——一个人对一件事的看法决定他处理这件事的方法。

如希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线不能用当时的任何一个数表示出来，希伯索斯勇于提出问题并认定这个问题是当时数学上的一个缺漏，希望能在众人的讨论中得到解决，但他的观点被认为是“荒谬”和违反常识的事，他遭到别人的打压，甚至最终被投入海中淹死。

这个悲剧很大一个程度取决于当时人们的数的认识还不够全面和深入，于是去处决那些“离经叛道”的“异类”。

同时，也可以看到每一次数学危机都是一次传统和新锐的斗争。

先觉者不断挑战这旧日的权威，顽固派不断想要扼杀新生的火焰，但星星之火早已有了燎原之势，烧尽腐朽落后的东西，随大江的海浪一波一波滚滚向前。

所以，我们应该培养开拓创新、钻研探究、不畏权威、追求真理的精神，在自己从事的领域上开创一片新的天地。

三次数学危机也是三次数学革命，发现问题，提出问题之后就需要解决问题。

人们经过多年不懈的讨论和研究，攻克了一个又一个的难关，数学危机给数学发展带来的动力，不断促进着数学理论基础的完善和成熟。

三、数学基础研究的三大学派1、逻辑主义学派以罗素和A.N怀特海为代表。

他们认为所有数学概念都归结为自然数算术的概念，而算术概念可借助逻辑由定义给出。

他们试图建立一个包括所有数学的逻辑公理系统，并由此推出全部数学。

逻辑主义认为数学是逻辑的延伸，在罗素的公理系统中不得不引用了非逻辑的选择公理和无穷公理。

如果没有这两条公理就无法推导出全部算术，更不用说全部数学。

当然，罗素的公理系统充分发展了数理逻辑的公理体系，并且在此基础上展示了丰富的数学内容，对数理逻辑和数学基础的研究起了极大的推动作用，贡献是很大的。

在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。

简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。

2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。

3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。

2、形式主义学派以 D.希尔伯特为代表，可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点。

希尔伯特主张捍卫排中律，他认为要避免数学中的悖论，只要使数学形式化和证明标准化。

为了使形式化后的数学系统不包含矛盾，他创立了证明论(元数学)。

他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性。

元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。

更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学。

，元数学的主题之一就是：分析某些数学要素是否在任意的数学系统中都是可证实或者证伪的。

希尔伯特计划的主要思想就是：奠定一门数学的基础，应该严格的、数学的证明这门数学的协调性（即无矛盾性或一致性、相容性）；希尔伯特计划的数学内容就是数理逻辑中的证明论。

希尔伯特计划，将各门数学形式化，构成形式系统，然后用一种初等方法证明各个形式系统的相容性，即无矛盾性，从而导出全部数学的无矛盾性。

希尔伯特与贝尔奈斯合著的两卷《数学基础》是希尔伯特计划的代表作。

希尔伯特建议两条最基本的原则：1、形式主义原则：所有符号完全看做没有意义的内容，即使将符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管，而只是把它们看作纯粹的形式对象，研究它们的结构性质；2、有限主义原则：即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。

应用数学方法于这样一个形式理论，避免涉及无穷的推断，这就排除了康托尔集合论的方法。

这个思想是只应用靠得住的方法，因为要证明数学或其一部分无矛盾的方法是大家公认可靠的，整个数学才有牢固的基础。

1931年K.哥德尔证明了不完全性定理，表明希尔伯特方案不能成功。

后来许多人对希尔伯特方案加以改进。

W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾性。

在数学基础的研究中，鲁宾孙，P.J.科恩自称为形式主义者（希尔伯特本人不认为自己是形式主义者），他们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统，“无穷集”，“无穷整体”等在客观上是不存在的。

希尔伯特的设想虽然没有实现，但却创立了证明论，又促进了递归论的发展，因此对数学基础的研究有很大的贡献。

3、直觉主义学派又称构造主义。

它的代表人物是L.E.J.布劳威尔。

直觉主义者认为数学产生于直觉，论证只能用构造方法，他们认为自然数是数学的基础。

当证明一个数学命题正确时，必须给出它的构造方法，否则就是毫无意义的，直觉主义认为古典逻辑是从有穷集合及其子集抽象出来的，把它应用于无穷数学就必然引起矛盾。

他们反对在无穷集合中使用排中律。

他们不承认实无穷体，认为无穷是潜在的，只不过是无限增长的可能性。

可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用。

但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂。

失去了数学的美，因而不被大多数数学家接受。

直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来；如果数学对象纯粹是精神上的构造还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢(如同直觉主义者会争论的一样)？这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。

例如，说A 或B, 对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。