3.23周一练习题1.在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ，且2S ＝（a +b ）2﹣c 2，则tan C ＝（ ） A.34B.43C. 43-D. 34-【详解】△ABC 中，∵S △ABC 12ab sinC =⋅，由余弦定理：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，且 2S ＝（a +b ）2﹣c 2，∴ab sin C ＝（a +b ）2﹣（a 2+b 2﹣2ab cos C ），整理得sin C ﹣2cos C ＝2，∴（sin C ﹣2cos C ）2＝4． ∴()2222sinC cosC sin C cos C-=+4，化简可得 3tan 2C +4tan C ＝0．∵C ∈（0，180°），∴tan C 43=-，故选：C ．2.已知a ＝log 23﹣logb ＝log 0.5π，c ＝0.9﹣1.1，则（ ） A. c ＞a ＞bB. a ＞b ＞cC. a ＞c ＞bD. b ＞c ＞a【详解】∵a ＝log12=log 23∈（12，1），b ＝log 0.5π＜0，c ＝0.9﹣1.1＞1．∴c ＞a ＞b ．故选：A ．3.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，渐近线为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若l 2┸PF 1 , l 2//PF 2则双曲线的离心率为（ ）B. 2详解：设双曲线渐近线1l 的方程为b y x a =， 2l 的方程为b y x a =-，则设P 点坐标为(,)bx x a，则直线1PF 的斜率10()b x bx a k x c a x c -==++，直线2PF 的斜率20()bx bx a k x c a x c -==--， 由21l PF ⊥，则()1()bx b a x c a ⨯-=-+，即221()b x a xc =+（1）由22l PF P ，则()bx b a x c a =--，解得2x c =（2），联立（1）（2），整理得：223b a =，由双曲线的离心率2c e a ===， 所以双曲线的离心率为2，故选B.4.设函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ωx +φ）（ω＞0，|φ|2π＜）的图象与直线y ＝2的两个相邻的交点之间的距离为π，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，若g （x ）＝sin （ωx +φ），则（ ）A. g （x ）在（0，2π）上单调递增 B. g （x ）在 （0，6π）上单调递减 C. g （x ）在（12π-，512π）上单调递增D. g （x ）在（6π，2π）上单调递减【详解】函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ωx +φ）＝2sin （ωx +φ3π+）． 由于函数的图象与直线y ＝2的两个相邻的交点之间的距离为π，所以T ＝π，解得ω＝2． 由于f （x ）+f （﹣x ）＝0，所以函数为奇函数．所以φ3π+=k π（k ∈Z ），由于|φ|2π＜，所以当k ＝0时，φ3π=-．所以g （x ）＝sin （2x 3π-）． 令：222232k x k πππππ-+≤-≤+（k ∈Z ），解得：51212k x k ππππ-+≤≤+（k ∈Z ）， 当k ＝0时，g （x ）在（12π-，512π）上单调递增．故选：C ． 5.在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660C C =⨯=.故答案为60．6.已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC =，若四面体P ﹣ABC 的体积为32，则该球的体积为_____．【详解】设该球的半径为R ，则AB ＝2R ，2AC ==2R ，∴AC =，由于AB 是球的直径，所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得：BC 2＝AB 2﹣AC 2＝R 2，所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC =2，又PO ⊥平面ABC ，且PO ＝R ，四面体P ﹣ABC 的体积为32，∴V P ﹣ABC 13=⨯R R 232=3＝9，R 3＝V 43=⨯πR 343=⨯=π．故答案为：. 7.已知ab ＞0，a +b ＝3，则2221b a a b +++的最小值为_____． 【详解】∵ab ＞0，a +b ＝3，∴a +2+b +1＝6．则221216b a a b +=++[（a +2）+（b +1）] 2221b a a b ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()()222212116216b b a a a b a b ⎡⎤++=+++≥⎢⎥++⎣⎦[a 2+b 2+2ab ]213()62a b =+=， 当且仅当b （b +1）＝a （a +2），a +b ＝3，即53b =，a 43=时取等号．故答案为：32．8.为弘扬中华优秀传统文化，某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛．比赛规则：每个参赛者回答A 、B 两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得1分，答错得0分，两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩．小明估计答对A 组每道题的概率均为34，答对B 组每道题的概率均为23． （Ⅰ）按此估计求小明A 组题得分比B 组题得分多1分的概率； （Ⅱ）记小明在比赛中的得分为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望E ξ． 【详解】（Ⅰ）设小明A 组题得1分，B 组题得0分为事件M ，A 组题得2分，B 组题得1分为事件N ，则小明A 组题得分比B 组题得分多1分的概率： P （M ∪N ）＝P （M ）+P （N ）1212223322231(1)1()443334C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭724=． （Ⅱ）由题意小明在比赛中的得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4（单位：分） 则P （ξ＝0）＝（134-）2（123-）21144=， P （ξ＝1）12122233222351(1)1(1)44333472C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， P （ξ＝2）222211223232223337()(1)(1)()1143433344144C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， P （ξ＝3）2112223223325()11()43344312C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，P （ξ＝4）＝（34）2（23）214=， ∴ξ的分布列为：E ξ01234144721441246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 9.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，平面ADE ⊥平面CDEF ，∠ADE ＝60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD ＝2，DE ＝DC ＝3，CF ＝4，点G 是棱CF 上的动点． （Ⅰ）当CG ＝3时，求证EG ∥平面ABF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角G ﹣AE ﹣D 所成角的余弦值为11，求线段CG 的长．【详解】（Ⅰ）证明：由已知得CG ∥DE 且CG ＝DE ，故四边形CDEG 为平行四边形，∴CD ∥EG ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB ，∴AB ∥EG ，又EG ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，∴EG ∥平面ABF ．（Ⅱ）过点A 作AO ⊥DE 交DE 于点O ，过点O 作OK ∥CD 交CF 于点K 由（1）知平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF ＝DE ，AO ⊂平面ADE ，∴AO ⊥平面CDEF ，∵CD ⊥DE ，∴OK ⊥DE ，以O 为原点建立如图的空间直角坐标系，则D （0，﹣1，0），E （0，2，0），C （3，﹣1，0），F （3，3，0），(003A ，，，D （0，﹣1，0），∴()((3,0,0,33,2,3DC DA BE ===--u u u r u u u r u u u r ，设平面ABCD 的法向量为(),,m x y z =r ，即030x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令z ＝﹣1，则3y =()3,1m =-r ，∴直线BE 与平面ABCD 33， （Ⅲ）由题意得，G （3，4λ﹣1，0）．∴(()0,2,33,43,0AE CE λ=-=-u u u r u u u r，，设平面AEG 的法向量为(),,p x y z =r ，即()2303430y z x y λ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，令y ＝3，则23z =，x ＝3﹣4λ，∴(34,3,23p λ=-r ，容易得平面AED 的法向量为()1,0,0q =r()24322114321λλ-=-+，解得214(43)3λ-=，∴4243λ=±|CG |＝λ|CF |＝4λ423=±|CG |≤4，∴423CG =-10.已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩.故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）.则121k k +==-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++-=由题设可知()22=16410k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+()()12121221kx x m x x x x +-+=. 由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=.即()()22244821104141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即()1122m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）。