高考数学第一轮复习：极坐标与参数方程第一部分：极坐标知识点讲解一、极坐标系与极坐标：1、极坐标系：如下图所示：一条射线就是一个极坐标系。

其中射线的端点叫做极点，这条射线叫做极轴。

2、极坐标的表示：如下图所示：点到极点的距离叫做极径，其中极径用字母ρ表示；极径与极轴之间的夹角叫做极角，极角用θ表示。

点P的极坐标为),(θρ。

二、极坐标与直角坐标的转换：1、极坐标与直角坐标的对应关系：如下图所示：2、极坐标转换为直角坐标：θρcos=x；θρsin=y；例一：把下列的极坐标转换为直角坐标。

（1）、)3,2(π （2）、)32,3(π （3）、)2,4(π （4）、)23,3(π（5）、),4(π【解析】：（1）、12123cos2=⨯=⋅=πx ；32323sin 2=⨯=⋅=πy ； 所以：极坐标)3,2(π转换为直角坐标)3,1(。

（2）、23)21(332cos3-=-⨯=⋅=πx ；23323332sin 3=⨯=⋅=πy ； 所以：极坐标)32,3(π转换为直角坐标)233,23(-。

（3）、因为：极角2πθ=；所以：点)2,4(π在y 轴正半轴上，对应的直角坐标为)4,0(； （4）、因为：极角23πθ=；所以：点)23,3(π在y 轴负半轴上，对应的直角坐标为)3,0(-；（5）、因为：极角),4(π；所以：点),4(π在x 轴的负半轴上，对应的直角坐标为)0,4(-； 3、直角坐标转换为极坐标坐标： 22y x +=ρ；22sin y x y +=θ；22cos yx x +=θ；xy=θtan 例二：把下列的直角坐标转换为极坐标。

（1）、)3,3( （2）、)3,1(- （3）、)2,2(- （4）、)2,6(- （5）、)0,2(- （6）、)6,0( （7）、)3,0(- （8）、)0,2(【解析】：（1）、32)3(322=+=ρ，33tan =θ，点)3,3(为第一象限角，6πθ=。

所以：直角坐标)3,3(对应的极坐标为)6,32(π。

（2）、2)3()1(22=+-=ρ，tan =θ)3,1(-为第二象限角，32πθ=。

所以：直角坐标)3,1(-（3）、222)2(22=+-=ρ，122tan -=-=θ，点)2,2(-为第二象限角，43πθ=。

所以：直角坐标)2,2(-对应的极坐标为)43,22(π。

（4）、22)2()6(22=-+=ρ，3362tan -=-=θ，点)2,6(-为第四象限角，6πθ-=。

所以：直角坐标)2,6(-对应的极坐标为)6,22(π-。

（5）、20)2(22=+-=ρ，点)0,2(-在x 轴的负半轴上，πθ=。

所以：直角坐标)0,2(-对应的极坐标为),2(π。

（6）、66022=+=ρ，点)6,0(在y 轴的正半轴上，2πθ=。

所以：直角坐标)6,0(对应的极坐标为)2,6(π。

（7）、3)3(022=-+=ρ，点)3,0(-在y 轴的负半轴上，2πθ-=。

所以：直角坐标)3,0(-对应的极坐标为)2,3(π- 。

（8）、20222=+=ρ，点)0,2(在x 轴的正半轴上，0=θ。

所以：直角坐标)0,2(对应的极坐标为)0,2(。

三、常见的极坐标方程。

1、直线的极坐标方程。

第一类：直线的极坐标方程。

αρ=（α为一个具体的角度）。

例一：把下列的极坐标方程转换为直角坐标方程。

（1）、3πθ=（2）、65πθ=（3）、4πθ-= （4）、67πθ= 【解析】：（1）、如下图所示：33tantan ===πθk ；所以：直线的方程为x y 3=（0≥x ）（2）、如下图所示：3365tan-==πk ；所以：直线的方程为)0(33≤-=x x y （3）、如下图所示：1)4tan(-=-=πk ；所以：直线的方程为x y -=（0≥x ） （4）、如下图所示：3367tan==πk ；所以：直线的方程为x y 33=（0≤x ） 第二类：直线的极坐标方程。

b a =+)cos(ϕθρ或者b a =+)sin(ϕθρ（其中b a ,是常数，ϕ是一个具体的角度）例二：把下列的极坐标方程转换为直角坐标方程。

（1）、5)3cos(2=-πθρ （2）、2)6sin(3=--πθρ（3）、2)4cos(-=+πθρ （4）、2)4sin(=+-πθρ 【解析】：（1）、5)sin 23cos 21(25)3sin sin 3cos (cos 25)3cos(2=+⇒=+⇒=-θθρπθπθρπθρ 535sin 3cos =+⇒=+⇒y x θρθρ。

（2）、2)cos 21sin 23(32)cos 6sin 6cos (sin 32)6sin(3=--⇒=--⇒=--θθρθππθρπθρ2232332cos 23sin 233=+-⇒=+-⇒x y θρθρ。

（3）、2)sin 22cos 22(2)4sin sin 4cos (cos 2)4cos(-=-⇒-=-⇒-=+θθρπθπθρπθρ 222222sin 22cos 22-=-⇒-=-⇒y x θρθρ。

（4）、2)cos 22sin 22(2)cos 4sin 4cos (sin 2)4sin(=+-⇒=+-⇒=+-θθρθππθρπθρ 222222cos 22sin 22=--⇒=--⇒x y θρθρ2、圆的极坐标方程。

第一类：圆的极坐标方程。

a =ρ（其中a 为常数）例三：把下列极坐标方程转换为直角方程。

（1）、2=ρ （2）、3=ρ （3）、1=ρ【解析】：（1）、442222=+⇒=⇒=y x ρρ；圆心在原点)0,0(，半径2=r 。

（2）、993222=+⇒=⇒=y x ρρ；圆心在原点)0,0(，半径3=r 。

（3）、111222=+⇒=⇒=y x ρρ；圆心在原点)0,0(，半径1=r 。

第二类：圆的极坐标方程。

θρθρsin ,cos a a ==（其中a 为常数）例四：把下列极坐标方程转换为直角方程。

（1）、θρcos 2= （2）、θρsin 4-= （3）、θρsin 3= （4）、θρcos -=【解析】：（1）、1)1(022cos 2cos 22222222=+-⇒=-+⇒=+⇒=⇒=y x x y x x y x θρρθρ 圆心：)0,1(；半径1=r 。

（2）、4)2(044sin 4sin 42222222=++⇒=++⇒-=+⇒-=⇒-=y x y y x y y x θρρθρ 圆心：)2,0(-；半径2=r 。

（3）、49)23(033sin 3sin 32222222=-+⇒=-+⇒=+⇒=⇒=y x y y x y y x θρρθρ圆心：)23,0(；半径23=r 。

（4）、41)21(0cos cos 2222222=++⇒=++⇒-=+⇒-=⇒-=y x x y x x y x θρρθρ圆心：)0,21(-；半径21=r 。

第三类：圆的极坐标方程。

)cos(),sin(ϕθρϕθρ+=+=a a （其中ϕ,a 都是常数）例五：把下列极坐标方程转换为直角方程。

（1）、)3sin(2πθρ+= （2）、)6cos(4πθρ-=（3）、)4cos(2πθρ+-= （4）、)3sin(πθρ+-= 【解析】：（1）、)cos 3sin 3cos (sin 2)3sin(2)3sin(222θππθρρπθρρπθρ+=⇒+=⇒+=x y y x 3cos 3sin )cos 23sin 21(22222+=+⇒+=⇒+=⇒θρθρρθθρρ1)21()23(4143)21()23(03222222=-+-⇒+=-+-⇒=--+⇒y x y x x y y x 圆心：)21,23(；半径1=r ； （2）、)6sin sin 6cos (cos 4)6cos(4)6cos(422πθπθρρπθρρπθρ+=⇒-=⇒-= y x y x 232sin 2cos 32)sin 21cos 23(42222+=+⇒+=⇒+=⇒θρθρρθθρρ 4)1()3(13)1()3(023*******=-+-⇒+=-+-⇒=--+⇒y x y x y x y x圆心：)1,3(；半径：2=r ；（3）、)4sin sin 4cos (cos 2)4cos(2)4cos(222πθπθρρπθρρπθρ--=⇒+-=⇒+-=y x y x 22sin 2cos 2)sin 22cos 22(22222+-=+⇒+-=⇒--=⇒θρθρρθθρρ 1)22()22(2121)22()22(022222222=-++⇒+=-++⇒=-++⇒y x y x y x y x 圆心：)22,22(-；半径：1=r ； （4）、)cos 3sin 3cos (sin )3sin()3sin(22θππθρρπθρρπθρ+-=⇒+-=⇒+-=x y y x 2321cos 23sin 21)cos 23sin 21(2222--=+⇒--=⇒+-=⇒θρθρρθθρρ41)41()43(161163)41()43(023********=+++⇒+=+++⇒=+++⇒y x y x x y y x 圆心：)41,43(--；半径：21=r ； 第二部分：五年高考极坐标真题讲解例一：【2014年高考数学上海卷】已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθρ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。

【解析】：解法一：把极坐标方程转换为直角方程进行计算。

1431sin 4cos 31)sin 4cos 3(=-⇒=-⇒=-y x θρθρθθρ；因为：极坐标系中的极轴为x 轴的非负半轴；所以：直线143=-y x 与极轴的交点为)0,31(；利用两点之间距离公式得到：点)0,31(到极点)0,0(的距离为31)00()031(22=-+-=d 。

解法二：利用极坐标系之间计算。

因为：极坐标系中的点到极点的距离为极径ρ； 该点为极坐标方程与极轴的交点，该点的极角为0=θ； 所以：131)0sin 40cos 3(⇒=⇒=-ρρρ例二：【2014年高考数学广东卷】1C 和2C 的方程分别为θθρcos sin 2=和1sin =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 。

【解析】：解法一：把极坐标方程转换成直角坐标方程进行计算。

曲线1tan sin 1cos sin sin cos sin sin cos sin :21=⇒=⇒=⇒=θθρθθθρθθθρθθρC x y xy x y y =⇒=⇒=⋅⇒2211；曲线11sin :2=⇒=y C θρ； 联立曲线1C 和2C 的方程： x y =21=y解得：交点的坐标为)1,1(。