2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1.已知集合A={1,2，3，4}，B={x|2<x<5,x∈R}，则A∩B=______
2.i是虚数单位，若z(i+1)=i，则|z|=______ ．
3.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，则双曲线的离心率为___________．
4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为______ ．
5.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，
用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为______．
6.书架上有5本书，其中语文书2本，数学书3本，从中任意取出2本，则取出的2本书都是数
学书的概率为________．
7.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(|φ|<π
3)的一个对称中心是(π
3
,0)，则φ的值是．
8.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1
上，则三棱锥P−ABA1的体积为______ ．
9.设函数f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数，若f(2)>1，f(3)=a2+a+3
a−3
，则a的取值范围是______．
10.如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ·
CD
⃗⃗⃗⃗⃗ =________．
11.已知数列{a n}的通项公式为a n=2017−3n，则使a n>0成立的最大正整数n的值为________．
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A−sin2B=2sinB⋅sinC，c=3b，
则角A的值为______．
13.若P是直线x−y+2=0上一点，且P到点A(2,1)的距离为5，则点P的坐标为________．
14.设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)={x(3−x),0≤x≤3
−3
x
+1,x>3，若函数y=f(x)−m有四个不
同的零点，则实数m的取值范围是_________．
二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）
15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)证明：PA//平面EDB；
(2)证明：BC⊥DE．
16.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a−c=√6
b，sinB=√6sinC．
6
(1)求cosA的值；(2)求sin(2A+π
)的值．
6
17.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲广场，它的主
体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积为200米 2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一个花坛，造价为4200元/米 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/米 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/米 2．
(1)设AD为x米，DQ为y米，试建立y关于x的函数关系式；
(2)设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；
(3)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？
18.已知椭圆C：x2
a +y2
b
=1(a>b>0)的离心率为√2
2
，且经过点Q(2,√2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y=kx+m(k>0,m2≠4)与椭圆C相交于A，B两点，若|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，试用m表示k．
19.已知函数f(x)=e x−x2−ax有两个极值点x1,x2(x1<x2)．
(Ⅰ)求a的取值范围；
(Ⅱ)求证：e x1+e x2>4．
20.已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足S n+b n+1=b n2，n∈N∗．
(1)若{b n}=2n，且S m=8，求正整数m的值；
(2)若数列{a n }，{b n }均是等差数列，求b 1的取值范围；
(3)若数列{a n }是等比数列，公比为q ，且−a 1>q >b 1≥1，是否存在正整数k ，使b 1，b
1k+34，b k
成等差数列?若存在，求出一个k 的值，若不存在，请说明理由；
-------- 答案与解析 --------
1.答案：{3,4}
解析：解：∵A ={1,2，3，4}，B ={x|2<x <5,x ∈R}；
∴A ∩B ={3,4}．
故答案为：{3,4}．
进行交集的运算即可．
考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．
2.答案：√22
解析：解：z(i +1)=i ，
z =i =i (1−i )()()=1+1i |z |=√(12)2+(12)2=√22
直接利用方程两边求模，即可得到结果．
本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．
3.答案：54
解析：
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)，则渐近线方程为y =±b a x ，由题意可得b a =34，由双曲线a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
解：由渐近线方程为3x ±4y =0，即渐近线方程为y =±34x ，
设双曲线的方程为x 2a 2
−y 2b 2=1(a,b >0)， 则渐近线方程为y =±b a x ，即有b a =34，
又c 2=a 2+b 2=a 2+916a 2=2516a 2，
a，
即c=5
4
．
可得e=5
4
．
故答案为：5
4
4.答案：5050
解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+⋯+100．
=5050．
则1+2+3+⋯+100=(1+100)×100
2
故答案为：5050．
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2++⋯+100的值．
根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
5.答案：18
解析：
本题考查抽取的学生数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用分层抽样的性质直接求解．
解：某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．
为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，
=18．
则应从丁专业抽取的学生人数为：60×300
150+150+400+300
故答案为：18．
6.答案：3
10
解析：
本题考查古典概型， 确定基本事件的个数是关键．
基本事件总数n =10，取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数m =3，由此能求出取出的两本书都是数学书的概率．
解：由题意，从5本书中任意取出2本的情况有10种，
其中取出的2本书都是数学书的情况有3种，
所以所求概率为310． 7.答案：−π6
解析：
本题考查三角函数的对称中心，利用余弦函数图象的对称中心为(kπ+π2,0)(k ∈Z)求解即可． 解：因为函数f (x )=cos (2x +φ)(|φ|<π3)的一个对称中心是(π3,0)，
所以cos(2π3+φ)=0，即2π3+φ=kπ+π2(k ∈Z)，即φ=kπ−π6(k ∈Z)，
因为|φ|<π3，
所以k =0时，φ=−π6．
故答案为−π6．
8.答案：9√34
解析：
本题考查几何体的体积的求法，考查空间思维能力，化归与转化思想，是中档题．点P 到平面ABA 1的距离即为△ABC 的高，由此能求出三棱锥P −ABA 1的体积．
解：∵在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，
AB =AA 1=3，点P 在棱CC 1上，
∴点P 到平面ABA 1的距离即为△ABC 的高，
即为ℎ=√32−(32
)2=3√32， S △ABA 1=12×3×3=92，
三棱锥P −ABA 1的体积为：。