方阵
A 与其伴随矩阵*A 的关系
摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵*
A 的定义，讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*
A 之间的关系，例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明
在高等代数课程中我们学习了矩阵,伴随矩阵。

它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。

1.伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵
()⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛==⨯nn n n n n n
n ij a a a a a a a a a a A 212221212111．令()
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛==⨯nn n
n
n n n
n ij A A A A A A A A A A A 2122212
12111
*
,其中ij A 是ij
a 的代数余子式.则称*A 为A 的伴随矩阵.
２．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明.
２.1
*AA ＝A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A A
A =
-，即1*
det -=AA A [1]．
证明:因为⎩⎨⎧≠==+++;
,0,,det 221
1j i j i A A a A a A a jn
in j i j i 若若 ⎩
⎨⎧≠==+++;,0,
,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j
i j i 若若
所以*AA =A A *
＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛A A A
det 000det 000det =AI det .
当
A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得
⎪⎭⎫ ⎝⎛*det 1A A A =A A A ⎪⎭
⎫
⎝⎛*det 1=I 即
*1det 1
A A
A =
-．
证毕.
2.2 ()*
T A =()T
A *.(显然) 2.3 若A 可逆,则()*1-A =()
1
*-A .（显然)
2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ,则
()
()()()⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110*
[2]. 引理1．若()2≥⨯n n n 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+．
证明 因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r =,
则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而()0=B r ；
若
()n r A r <=,则方程组的基础解系中含r
n -个向量,于是
()r
n B r -≤，因此有
()()n B r A r ≤+.
证毕.
下面证明2.４． ⑴当()1-<n A r
时, A 的每一个1-n 阶代数余子式都为零.所以*A 为零阵,所以()0*=A r .
⑵当()1-=n A r
时，0det =A ，*AA =AI det =0.由引理１知,()A r +()n A r ≤*.因为
()1-=n A r
则()()11*
=--≤n n A r
,知A 至少有一个1-n 阶子式不为零.即 *
A 至少有
一行不全为零. 所以()1*
≥A r .因为()1*
≤A r ，从而()1*
=A r ．
⑶ 当()n A r =时,A 可逆，由1知，*A 也可逆．所以()n A r =*.
证毕.
２.5 ()
1
*
det det -=n A A .
① 当
A 可逆时,1*det -=AA A ．
所以()1*det det det -=A A A n
()
1
det -=n A .
② 当
A 不可逆时,()1-≤n A r ,0det =A ．
1) 当2≥n
时
()1-<n A r ,由2.4知()0*=A r ．所以0det *=A .
()1-=n A r ，()n A r <=1*，0det *=A .则()
0det det 1
*==-n A A
2) 当1=n 时,0det =A ,即0=A ，0det *=A ，则()0det det 1*==-n A A .
证毕. 2.６ 当
A 可逆时,若0λ为A 的特征值，则
det λA
是*A 的特征值.当()1-<n A r 时,*A 的特征值为
零,并是n 重的.
引理２. 设A 可逆,若0λ为A 的特征值,则
1
λ是
1-A 的特征值.
证明: 若00=λ，则由00=-A E λ得到()01=-=-A A n ,于是0=A ，这与A 可逆矛
盾,所以00≠λ.
同时由
00=-A E λ还有
()()1
1010011
110------=--=-=-=A E A E E A A E A n
n
n
λλλλλ．
因此
01
10
=--A E λ，即 0
1
λ是
1-A 的特征值.
引理证毕. 下面证明2.6.
不妨设*
A 的特征值为*
λ.则由
AE AA det *=有
1
*
1
*
*
*
0---=-=-=A
E A
A
A
A E A E n
λλλ.
0≠A ，这说明
A
*
λ是1
-A 的特征值．
由引理2知，
*
1
λλ=
A
,所以0
*
λλA
=
,即
λA
是*
A 的特征值.
若()0*
=A r ,（即()1-<n A r
）时,0*
=A
,所以*A 的特征值0*=λ且是n 重的.
2.７ 若
A 为可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵．
证明:由２.1即可得到此结论. ２.8 若
A 为对称矩阵，则*A 也是对称矩阵.
2.9 ()***
A B AB =.
证明： 当
A ,
B 均可逆时, 1*det -=AA A ,1*det -=BB B ,所以
()
*
111**))(det()det(AB AB AB A B AB A B ===---.
当
A ，B
不都可逆时,则当x 足够大时,存在x 使得
n xI A +, n xI B +均可逆，此时有
()***
)()())((n n n n xI A xI B xI B xI A ++=++,这是关于x 的恒等式,即x 取零
时，该等式也成立,即()***A B AB =.
证毕.
2．1０ 若A 为正交矩阵,则*
A 也是正交矩阵． 证明: 若
A 为正交矩阵,则I A A AA T T ==且1det ±=A ,由２.2知()()
*
***T T
A A A A =．再由2．9
知()
()()
I I A A A A A A
T
T
T
====**
*
***
,所以*
A
也是正交矩阵.
证毕. ２.11 ()
A A
A
n 2
*
*-=,其中A 是n 阶方阵()2>n ．
证明:因为E A A A AA ==**,所以 1) 当0≠A 时,1
*
-=A A A .则 ()()
()
1
11*
1*
*----⋅==A A A A A A A
ﻩ
()
A A A A
A A A A
A A n n
n
2
11
1
1
1
11------===
2) 当0=A 时,由２.4知()1≤A r ． 当2>n 时,)()0*
*
=A r ,故()A A
A n 2
*
*-=.
当2=n 时，令⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=d c b a A ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a c b d A *
, ()
A A A d c b a A n 2
*
*-==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=. 证毕.
通过以上的证明,说明了n阶矩阵A与其伴随矩阵*A有很多联系和继承性,理解和掌握这些联系和继承性对我们以后高等代数课程的学习有着重要的意义．。