a
0
mx
dx
D
1 ma2 1ma2
8
2
1 m a2( 4).
8
2) 简化二重积分的计算
y
B
例3 求 e y2dxdy, 其中 D 是以O(0,0), 1 D D
A(1,1), B(0,1) 为顶点的三角形区域.
o 解 取 P 0, Q xe y2 , 则 Qx Py e y2 ,
复连通区域
2. 正向边界曲线 D+
y L1
L2
y
L1
L2
O
x
D由L1与L2连成
O
x
D由L1与L2连成
边界曲线 D 的正向:当观察者沿边界行走时, 区域D总 在他的左边. D的正向边界曲线记为: D+.
平面单连通区域: 边界曲线的逆时针方向为正向.
平面复连通区域: 边界曲线的外圈, 逆时针方向为正向, 边界曲线的里圈, 顺时针方向为正向.
第四节 格林公式
一、格林(Green)公式 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求解 * 四、曲线积分基本定理
一、格林公式
1. 区域连通性 设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的 部分都属于 D , 则称 D 为平面单连通区域 , 否则 称为复连通区域.
D D
单连通区域
P(
D
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
(Q x
P y
)dxdy
1) 公式中有向曲线应为区域 D 的正向边界.
例5 计算 L xy2dy x2 ydx, 其中 L 是圆周 x2 y2 2x
取顺时针方向.
y
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分 ( y2 x2 )dxdy
O
2x
D
2
取 P y, Q 0, 得 A ydx D
取 P y, Q x, 得 A 1 xdy ydx 2 D
例4 计算抛物线( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成的面积.
A(a,0)
解 直线段OA : y 0, x : 0 a, o 曲线弧 AO : y ax x, x : a 0,
应用格林公式计算 Pdx Qdy时应注意两点：
L
1) L必须是封闭曲线, 且二重积分易算出. 若L不封闭,
要添加辅助线使之封闭,且添加部分的线积分易算出.
2) P(x,y), Q(x,y) 在所考虑区域上应有连续偏导.
d
2
2cos 3d 8
0
2 cos4 d
0
3.
2
2) L 是封闭曲线但在L 所围区域 D 内P、Q有奇点,则 不能直接应用格林公式.
例6
计算
L
xdy x2
ydx y2
,其中
L
为一条分段光滑且
不经过原点的连续闭曲线,且 L 取逆时针方向.
解
记
L
围成的闭区域为
D
,令
P
y x2 y2
,
Q
x2
的OAB 的正向边界.
I 2.
y
2B A
D
o
1x
例1 计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,
L
其中 L 是以O(0,0), A(1,2), B(0,2) 为顶点
y
2B A
D
的OAB 的正向边界.
解 令 P x2 2xy, Q y2 2xy,
o
1x
则 Qx 2 y, Py 2x , 记L所围区域为 D ,
则原积分
(2
y
2 x )dxdy
1
0
2
dx 2 x
(2
y
2 x ) dy
D
1
0(4x 4)dx 2.
情形2：L 是非封闭曲线, 可添加辅助线化为情形1.
例2 计算 (e x sin y m( x y)dx (e x cos y m)dy,
L
其中 L 为上半圆周 x2 y2 ax 从 A(a,0) 到 O(0,0) ,
A
x
1
e y2dxdy
xe y2dy xe y2dy
D
OA AB BO
OA
1 xe x2dx
0
1 2
[
e
x
2
]
1 0
1 (1 e1 ). 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
格林公式:
D
(Q x
P y
)dxdy
Pdx
D
Qdy
闭区域 D 的面积A dxdy.
D
取 P 0, Q x, 得 A xdy D
3、格林 (Green ) 公式
定理1 设 xoy 面上的有界闭区域 D 的边界曲线D
由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成, 函数 P(x, y), Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有:
Q P
D
(
x
y
)dxdy
P(x,
D
y)dx
Q( x,
y)dy
(1)
公式(1)叫做格林公式.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积 分之间的联系.
4、格林公式的简单应用
1) 简化第二类曲线积分 Pdx Qdy 的计算.
L
情形1：L是封闭曲线且在L所围区域D内P、Q无奇点,
(奇点：P 或Q无定义或偏导不存在或偏导不连续的点)
则可直接应用格林公式.
例1 计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,
L
其中 L 是以O(0,0), A(1,2), B(0,2) 为顶点
记 L 和 l 所围成区域为 D1, 则有：
y
L
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
D1
0dxdy
0
,
l D1
or
x
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
0 dt 2
2 .
格林公式小结:
1.格林公式： Pdx D
Qdy
Hale Waihona Puke D(Q xP y
)dxdy
2. 格林公式的应用.
m 为任意常数.
y
解 记原积分 P( x, y)dx Q( x, y)dy,
D
则 Qx
e
x
L
cos
y,
Py e x cos y m ,
O
Ax
作定向线段 OA : y 0, x : 0 a,它与L所围闭区域记为 D,
则原积分 Pdx Qdy Pdx Qdy
LOA
OA
m
dxdy
A ydx ( ) ydx
D
OA AO
0
0 a (
ax
x)dx
a
0
(
1
ax2
x)dx
1
a2.
6
或:
A
1
xdy
2 D
ydx
1 2
(
OA
AO
)xdy
ydx
1 2
0
a[ x( 2
a ax
1)
(
ax x)]dx
aa
4 0
xdx 1 a2 . 6
5. 应用格林公式时一定要注意条件
x
y2
,
则当 x 2 + y 20 时, 有:
Qx
(
y2 x2
x2 y2 )2
Py ,
(1) 当 (0,0)D 时,
xdy ydx
L x2 y2
0dxdy 0 .
D
y
D
o
L x
(2) 当 (0,0)D 时,
作位于D内圆周 l : x 2 + y 2= r 2 , l 取顺时针方向.