第四章 试验数据的回归分析
4.1 基本概念

在生产过程和科学实验中，总会遇到多个变量， 同一过程中的这些变量住住是相互依赖相互制约 的，也就是说它们之间存在相互关系，这种相互 关系可以分为两种类型：确定性系和相关关系。
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确定性关系和相关关系

确定性关系


当一个或几个变量取一定值时，另一个变量有确定值与之相对 应，也就是说变量之间在着严格的函数关系，这种关系就称为 确定性关系。 例如，当溶液的体积V一定时，溶液的摩尔浓度c与溶质的质量 W之间就有确定的函数关系。c=W/（MV）（M为溶质的分子 量），当W确定后，c也就完全确定了。
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相关系数检验法

在实际计算复相关系数时，一般不直接根据其定 义式，而是先计算出决定系数R2，然后求其决定 系数的平方根。

这里0≤R≤1，当R=1时，表明y与变量x1,x2,…,xm 之间存在严格的线性关系；当R＝0时，则表明y 与变量x1，x2，…，xm之间不存在任何线性相关 关系，但可能存在其他非线性关系；当0<R<1时， 表明变量之间存在一定程度的线性相关关系。可 以证明，当m=1，即一元线性回归时，复相关系 数R与一元线性相关系数r是相等的。
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回归分析（regression analysis）


回归分析是一种处理变量之间相关关系最常用的 统计方法，用它可以寻找隐藏在随机性后面的统 计规律。 确定回归方程，检验回归方程的可信性等是回归 分析的主要内容。 回归分析的类型



研究一个因素与试验指标间相关关系的回归分析称为 一元回归分析； 研究几个因素与试验指标问相关关系的称为多元回归 分析。 可以分为线性回归和非线性回归两种形式。


在一些情况下，n（n＞2）对试验值xi，yi。 （i=1，2，…，n）作出的散点图，即使一看就 知道这些点不可能近似在一条直线附近，即x与y 不存在线性相关关系，但是仍可以利用最小二乘 法求得x与y的线性拟和方程，这样求得的方程显 然没有意义。 因此，我们不仅要建立从经验上认为有意义的方 程，还要对其可信性或拟和效果进行检验或衡量。 下面介绍几种检验方法。
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4.3.3 因素主次的判断方法

两种判断因素主次的方法


偏回归系数的标准化 偏回归系数的显著性检验
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偏回归系数的标准化

在多元线性回归方程中，偏回归系数b1,b2,…,bm表示了xi 对y的具体效应，但在一般情况下，bj本身的大小并不能 直接反映自变量的相对重要性，这是因素的取值会受到 对应因素的单位和取值的影响。如果对偏回归系数bi进 行标准化，则可解决这一问题。设偏回归系数hi的标准 化回归系数为Pj，Pj的计算式为：
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4.2 一元线性回归分析


4.2.1 一元线性回归方程的建立 4.2.2 一元线性回归效果的检验
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4.2.1 一元线性回归方程的建立


一元线性回归分析（linear regression）又称直线 拟和，是处理两个变量之间关系的最简单模型。 一元线性回归分析虽然简单，但从中可以了解回 归分析方法的基本思想、方法和应用。
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对于给定的显著性水平，显著性检验要求 |r|>rmin时，才说明x与y之间存在密切的线性关系， 或者说用线性回归方程来描述变量x与y之间的关 系才有意义，否则线性相关不显著，应改用其他 形式的回归方程。 其中rmin称为相关系数临界值，它与给定的显著 性水平和试验数据组数n(n>2)有关，可从附录5 查得。
n
上述方程组称为正规方程组。对方程组求解，可得回归系数a，b的 计算式：
a y bx b
x
i 1 n i 1
n
i
yi n x y n( x ) 2
x
2 i
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例

为研究某合成物的转化率T与试验中的压强 p(atm)的关系，得到下表数据。用最小二乘法确 定转化率与压强的经验公式。
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修正自由度的决定系数

由于回归平方和SSR会受到试验次数n影响，所以在多元 线性回归分析中，还有一个常用的评价指标，成为修正 自由度的决定系数，计算式：
n 1 2 R 1 (1 R ) n m 1
2

可以看出，R2≤R2 给定的R2和n值，自变量个数m越多R2 越小。
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解பைடு நூலகம்
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采用最小二乘法的基本步骤



根据试验数据画出散点图； 确定经验公式的函数类型； 通过最小二乘法得到正规方程组； 求解正规方程组，得到回归方程的表达式。
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4.2.2 一元线性回归效果的检验


首先计算每个偏回归系数的偏回归平方和SSj SSj=bjLjy SSj的大小表示了xj对y影响程度的大小，其对应的 自由度dfj=1，所以MSj=SSj，于是有 Fj=MSj/MSe=SSj/MSe 对于给定的显著性水平，如果F<Fa(1,n-m-1),则说明xj对y的影响 是不显著的，这是可将它从回归方程中去掉，变成（m-1）元回 归方程。
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分析

根据表中数据，在普通直角坐标系中画出T~p散点图， 由图中可以看出，这些点近似于直线分布，故可设T~p 经验公式为 T=a+bp
若将上表的数值代入经验公式 可得到不同的解
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解


根据题意，试验次数n=5，T~p为一元线性关系 根据最小二乘法原理有


其中xi，yi是已知试验值，故残差平方和SSe为a，b的函数。 将上式分别对a，b求偏导数，并令其等于0，即可求得a，b之值。
n n n Q a 2 ( yi a bxi ) 0 na b xi yi i 1 i 1 i 1 即 n n n n Q 2 a x b x x y 2 ( yi a bxi ) xi 0 i i i b i i 1 i 1 i 1 i 1
当一个或几个相互关系的变量取一定数值时，与之对应的另一 变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化， 变量之间的这种关系称为相关关系。 例如，在食品加工过程中，处理温度与食品中维生素C含量之间 的关系，虽然我们知道温度越高，维生素C含量会降低，但这一 规律很难用一个确定的函数式来准确表达，两看问存在相关关 系。
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F检验法

F检验实际上就是方差分析


非常显著和显著的结果说明y的变化主要是由x的变化 造成的。 不显著的结果说明y的变化与x的变化关系不大
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残差分析
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4.3 多元线性回归分析



4.3.1 多元线性回归方程 4.3.2 多元线性回归方程显著性检验 4.3.3 因素主次的判断方法
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4.3.1 多元线性回归方程

在解决实际问题时，往往是多个因素都对试验结果有影 响，这时可以通过多元回归方差分析（multiple regression analysis）求出试验指标（因变量）y与多个试 验因素（自变量）xj之间的近似函数关系 y=f(x1,x2,…,xm)
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F检验法
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相关系数检验法

在多元线性回归分析中，复相关系数R反映了一个变量y 与多个变量xj之间的线性相关程度。定义式如下：

复相关系数的平方成为多元线性回归方程的决定系数用 R2表示。决定系数的大小反映了回归平方和SSR再总离差 平方和SST中占的比重，即：
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相关系数检验法
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相关系数检验法
分析可知，相关系数r 越接近1，x与y的线 性相关程度越高，然 而r的大小未能回答其 值达到多大时，x与y 之间才存在线性相关， 采用线性关系才属合 理，所以须对相关系 数r进行显著性检验。

根据标准化回归系数Pj的大小就可以直接判断各因素xi 对试验结果y的重要程度，P越大，则对应的因素越重要。
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偏回归系数的显著性检验


在多元回归方程的F检验中，回归平方和SSR反映了所有 自变量对实验指标y的总的影响，如果对每个偏回归系数 进行方差分析，就可以知道每个偏回归系数的显著性 ， 从而判断他们对应因素的重要程度 步骤
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一元线性回归方程

设有一组试验数据，试验值xi，yi（i=1，2，…，n），其 中x是自变量，y是因变量。若x，y符合线性关系，或己 知经验公式为直线形式，都可拟和为直线方程，即：