木材运输的最优方案一.摘要：运输是实现人和物空间位置变化的活动，是社会物质生产的必要条件之一,与人类的生产生活息息相关。

高效的运输方案能够节约资源和能源，同时也能够节约费用，从而带来经济上的收益。

一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的问题。

本文讨论的就是木材运输费用最优化的问题，运用线性规划的数学模型遵循运输成本最低原则，引入x变量作为决策变量，建立目标函数，列出约束条件，借助matlab和lingo软件分别对三个问题进行了分析，得出其中的最优解，使得把木材从3个产地运到5个市场的总运费最少。

对于第一个问题，仅采用火车运输木材。

在满足从每个产地运出的货物总量等于其产量，运输到每个市场的货物总量等于需求量的约束条件下，利用matlab软件进行线性规划，建立总运费最小的目标函数，求解得到运输费用最小的分配方案，最小运费为2816千美元。

对于第二个问题，全部木材改用水路运输。

在满足与第一个问题相同约束的条件下，还需考虑每年在每条线路上的船只的投资费用，采用哪一种运输路线就要对其进行投资，否则不需要，为了解决这一问题，我们引入了0-1规划。

利用lingo软件进行线性规划，建立总运费最小的目标函数，求解得到运输费用最小的分配方案，最小运费为1628.1千美元。

针对第三问，在可以任意选择交通工具的情况下，确定最优的木材运输方案，假设把木材分为分别用火车和船只运输的两部分，先用最小元素法求最优解，在满足约束条件的基础上，对这两部分所需的费用相加，得到的最小的运输费用为。

模型的建立遵循了简单明了的原则，运用专业数学软件求解，结果可行性高，具有推广性。

关键词：运输模型线性规划matlab lingo 0-1规划最小元素法闭回路法二．问题的重述LT是一个木材公司，它有3个木材产地和5个销售市场。

木材产地1、产地2、产地3每年的产量分别为15百万个单位、20百万个单位、15百万个单位。

5个市场每年能卖出的木材量分别为11百万个单位、12百万个单位、9百万个单位、10百万个单位、8百万个单位。

在过去，这个公司是用火车来运送木材的。

后来随着火车运费的增加，公司正在考虑用船来运输木材。

采用这种方式需要公司在使用船只上进行一些投资。

除了投资成本以外，在不同线路上用火车运输和用船运输每百万单位的费用如下表所示：表1 运输费用情况其中“—”表示不能用船只运输的路线。

如果用船只运输的话，每年在每条线路上对船只的投资费用如下：问题一：假设全部货物还是都沿用火车运输，运输费用最少的运输方案是什么？最少运费是多少？问题二：假设全部货物都改用船只运输，运输费用最少的运输方案是什么？最少运费是多少？问题三：假设货物既可以用火车运输，也可以用船只运输，为使总运费最少，如何选择运输方案？最少的运费为多少？三．模型假设假设1.每一个产地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到各个市场。

假设2.每一个市场都有固定的需求量，整个需求量都必须由产地满足。

假设3.从任何一个产地到任何一个销地的木材运输成本和所运输的数量呈线性比例关系，这个成本就等于运输的单位成本乘以运输数量。

假设 4.运输过程中不会出现其它客观问题（如交通事故、天气影响和工具维修等不利因素），木材可以安全到达目的地。

四．模型的建立问题一：1.问题分析表 4.1给出了3个产地和5个市场的木材供应量与需求量及各产地到各市场的每百万个单位的运输费用。

3个木材生产地的总生产量与5个木材销售市场的销售总量是相等的，运用线性规划的知识建立运输费用最小的目标函数，生产基地的产量与输出量相等，销售市场的销量与输入量相等作为约束条件，求解得到最小运输费用的运输方案。

3.建立线性规划模型（模型一）由上述问题分析，得到以运输费用最小的规划模型： ① 目标函数3511(,)*(,)min(i j C i j Q i j Z ===∑∑3511(,)*(,)min(i j C i j Q i j Z ===∑∑约束条件的建立如下：问题二： 1.问题分析假设全部木材都用船只运输，从三个产地运到五个市场，分别从三个产地运出的总量必须小于产地的产量，运到五个市场的总量必须不小于市场的需求量，并且如果从i 地运到j 市场，则这条路就需要船只投资费用，如果不需要从i 地运到j 市场，那么就不需要额外的费用，最后，用从i 地运到j 市场单位运费乘以从i 地运到j 市场的木材的量再求和在与从i 地运到j 市场路线的船只费用相加，就可以得到运输木材的所有费用。

假设从i 地运到j 市场的运费为D i j ，所运木材的质量为m i j ，所需要的船只投资费用为c i j ，用x i j =0或1表示木材从i 地运到j 市场或者不从i 地运到j 市场。

总费用为：Z =∑=31i ∑=51j （C i j *M i j +X i j *D i j ）约束条件如下：(1) 从三个产地运出的总量必须小于产地的产量∑=51j M1j <=15∑=51j M 2j <=20∑=51j M3j <=15(2) 运到五个市场的总量必须不小于市场的需求量：(3) 从i 地运到j 市场，则这条路就需要船只投资费用，如果不需要从i 地运到j 市场，那么就不需要额外的费用：X i j =0或1若M i j =0，则X i j =0综合以上分析，建立问题二的模型如下：Mi n=∑=31i ∑=51j (C i j *M i j +X i j *D i j )∑=51j M1j <=15∑=51j M 2j <=20∑=51j M3j <=15∑=31i M i 1=11 ∑=31i M i 2=12 ∑=31i M i 3=9s.t.∑=31i M i 4=10∑=31i M i 5=8X i j =0或1M i j =0，则X i j =0对模型三： 1.问题的分析在第一问的与第二问的基础上，可以比较俩种不同运输方式的运费的大小，明显木材用船只运输的费用不管是运输多少单位的木材都比火车要小，所以只考虑全部木材都用船只运输，从三个产地运到五个市场，并且场地的供应量与需求量相等，这是产销平衡运输问题，如果从i 地运到j 市场，则要加上这条路的船只投资费用，如果不需要从i 地运到j 市场，那么就不需要对船只投资额外的费用，最后，用从i 地运到j 市场单位运费乘以从i 地运到j 市场的木材的量再求和在与从i 地运到j 市场路线的船只费用相加，就可以得到运输木材的所有费用。

3.模型的建立为了解决只有船只运输的情况下运费最少，下面用最小元素法分析求出最优解。

最小元素法的基本思想是优先满足单位运价最小的供销业务。

首先找出运价最小的，并以最大限度满足其供销量为原则确定供销业务。

同样的方法反复进行直到确定了所有的供销业务，得到一个完整的调运方案即初始基本可行解为止。

首先列出船的运费表，如下，并在此基础上用最小元素法找到木材用船运输的方案表。

船的方案表与运费表以此，得到一初始方案：D11=11 , D13=4，D23=5，D24=10，D25=5，D32=12，D35=3.（有数格）D12=D15=D21=D22=D33=D34=0（空格）(说明：由题可知D 14,D 31不能用船只运输，不考虑这两处的运输量） 所以初始运费方案为Y m i n =11x 31+27.5+24x 4+23.8+5x28+27+24x 10+25+31x5+26.5+33x 12+28.3+26x3+24=1628.1(千美元） 注：（ⅰ）有数格是基变量，共m+n -1=3+5-1=7个。

空格是非基变量，共划去m+n=8条线；（ⅱ）如果填上一个变量之后能同时划去两条线（一行与一列），就须在所划去的该行或该列填一个0，此0格当有数格对待。

由上面的结论可知最小费用为1628.1千美元。

为了检验上面的结果的精确性，又建立了0-1线性规划模型。

假设木材从i 地用火车运到j 市场的质量为X i j ，所需运费为C i j ；木材从i 地用船只运到j 市场的质量为Y i j ，所需运费为D i j ，用Q i j =0或1表示木材从i 地用船只运到j 市场或者不从i 地用船只运到j 市场，所对应需要的船只投资费用为P i j 。

可得总费用为：Z =∑=31i ∑=51j （C i j *X i j +Y i j *D i j +P i j Q i j ）约束条件如下：（1）从三个产地运出的总量必须小于产地的产量:∑=51j X1j +Y 1j <=15∑=51j X 2j +Y 2j <=20∑=51j X3j +Y 3j <=15（2）运到五个市场的总量必须不小于市场的需求量：∑=31i X i 1+Y i 1=11∑=31i X i 2+Y i 2=12∑=31i X i 3+Y i 3=9∑=31i X i 4+Y i 4=10∑=31i X i 5+Y i 5=8(4) 从i 地运到j 市场，则这条路就需要船只投资费用，如果不需要从i 地运到j 市场，那么就不需要额外的费用：Q i j =0或1若Y i j =0，则Q i j =0.综合以上分析，建立问题三的模型如下： Mi n=∑=31i ∑=51j （C i j *X i j +Y i j *D i j +P i j Q i j ）∑=51j X1j +Y 1j <=15∑=51j X 2j +Y 2j <=20∑=51j X3j +Y 3j <=15∑=31i X i 1+Y i 1=11∑=31i X i 2+Y i 2=12∑=31i X i 3+Y i 3=9s.t. ∑=31i X i 4+Y i 4=10∑=31i X i 5+Y i 5=8Q i j =0或1若Y i j =0，则Q i j =0.五．模型的求解问题一：以上模型为一次线性问题，可以借助m at la b软件求解，在m at la b 中编辑窗口中输入程序，可得到用火车运输木材的最优化方案，结果如下表格所示：木材最优运输分配方案所以得到的最小运输费用为2816千美元。

问题二:以上模型的目标函数是一次型，即线性问题，可以用l ing o软件求解，编写li ng o程序见附录。

点击“求解”按钮，得到最优解，总费用为1628.100千美元，木材的运输计划如图：木材最优运输分配方案所以得到的最小运输费用为1628.100千美元。

由图可知满足从三个产地运出的总量小于产地的产量，运到五个市场的总量等于市场的需求量。